köklü sayılar
Köklü Sayılar Soruları ve Çözümleri
Soru 1:
Bir dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu \( 7\sqrt{5} \) cm’dir.
A
B
C
D
\( 7\sqrt{5} \) cm
Bu dikdörtgenin çevresinin uzunluğu \( 18\sqrt{5} \) cm olduğuna göre, alanı kaç \(cm^2\)’dir?
Çözüm: Kısa kenar uzunluğuna “a” diyelim.
Çevre: \( a + 7\sqrt{5} + a + 7\sqrt{5} = 18\sqrt{5} \)
\( 2.7\sqrt{5} + 2a = 18\sqrt{5} \)
\( 14\sqrt{5} + 2a = 18\sqrt{5} \)
\( 2a = 4\sqrt{5} \)
\( a = 2\sqrt{5} \) kısa kenar uzunluğunu bulduk.
Dikdörtgenin alanı kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunun çarpımıyla bulunur.
Alan: \( 2\sqrt{5}.7\sqrt{5} = 14.(\sqrt{5})^2 \)
\(= 14.5 = 70 cm^2\)
Çevre: \( a + 7\sqrt{5} + a + 7\sqrt{5} = 18\sqrt{5} \)
\( 2.7\sqrt{5} + 2a = 18\sqrt{5} \)
\( 14\sqrt{5} + 2a = 18\sqrt{5} \)
\( 2a = 4\sqrt{5} \)
\( a = 2\sqrt{5} \) kısa kenar uzunluğunu bulduk.
Dikdörtgenin alanı kısa kenar uzunluğu ile uzun kenar uzunluğunun çarpımıyla bulunur.
Alan: \( 2\sqrt{5}.7\sqrt{5} = 14.(\sqrt{5})^2 \)
\(= 14.5 = 70 cm^2\)
Soru 2:
Aşağıdaki karenin çevre uzunluğu \( 20\sqrt{3} \) cm’dir.
A
B
C
D
Bu karenin alanı kaç \(cm^2\)’dir?
Çözüm: Karenin bir kenar uzunluğu \(a\) cm olsun.
Çevre: \(4a = 20\sqrt{3}\)
Bir kenar uzunluğu : \(a = 5\sqrt{3}\) cm’dir.
Alan: \( a^2 = (5\sqrt{3})^2 = 25.(\sqrt{3})^2 \)
\(= 25.3 = 75 cm^2 \)
Çevre: \(4a = 20\sqrt{3}\)
Bir kenar uzunluğu : \(a = 5\sqrt{3}\) cm’dir.
Alan: \( a^2 = (5\sqrt{3})^2 = 25.(\sqrt{3})^2 \)
\(= 25.3 = 75 cm^2 \)
Soru 3: Pozitif tam sayılar kümesi üzerinde \(Δ\) işlemi;
\(a Δ b = \sqrt{a.b} \) şeklinde tanımlanıyor.
\((16 Δ 9) Δ x = 6 \) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
\(a Δ b = \sqrt{a.b} \) şeklinde tanımlanıyor.
\((16 Δ 9) Δ x = 6 \) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
Çözüm: \(16 Δ 9 = \sqrt{16.9} = 4.3 = 12\)
\(12 Δ x = \sqrt{12.x} = 6 \)
\(12.x = 36 \)
\( x = 3 \)
\(12 Δ x = \sqrt{12.x} = 6 \)
\(12.x = 36 \)
\( x = 3 \)
Soru 4: \( a\sqrt{27} + b\sqrt{243} = 27\sqrt{3} \)
olduğuna göre,
\(a + 3b\) kaçtır?
olduğuna göre,
\(a + 3b\) kaçtır?
Çözüm: \( a\sqrt{27} + b\sqrt{243} = 3a\sqrt{3} + 9b\sqrt{3} \)
\(= 27\sqrt{3} \)
\(3a + 9b = 27 \)
\( a + 3b = 9 \)
\(= 27\sqrt{3} \)
\(3a + 9b = 27 \)
\( a + 3b = 9 \)
Soru 5: \( (\sqrt{7} – 2)^a = 9 \)
olduğuna göre, \( (\sqrt{7} + 2)^a \) ifadesinin değerini bulunuz.
olduğuna göre, \( (\sqrt{7} + 2)^a \) ifadesinin değerini bulunuz.
Çözüm: \( (\sqrt{7} + 2)^a = x\) olsun.
\( (\sqrt{7} – 2)^a = 9 \) ifadesi ile çarpalım. \( (\sqrt{7} + 2)^a.(\sqrt{7} – 2)^a = x.9\)
\( ((\sqrt{7} + 2).(\sqrt{7} – 2))^a = x.9\)
\( ((\sqrt{7})^2 – 2^2))^a = x.9\)
\( (7 – 4)^a = x.9\)
\( 3^a = x.9\)
\( \frac{3^a}{9} = x \)
\( \frac{3^a}{3^2} = x \)
\(3^{(a-2)} = x \)
\( (\sqrt{7} – 2)^a = 9 \) ifadesi ile çarpalım. \( (\sqrt{7} + 2)^a.(\sqrt{7} – 2)^a = x.9\)
\( ((\sqrt{7} + 2).(\sqrt{7} – 2))^a = x.9\)
\( ((\sqrt{7})^2 – 2^2))^a = x.9\)
\( (7 – 4)^a = x.9\)
\( 3^a = x.9\)
\( \frac{3^a}{9} = x \)
\( \frac{3^a}{3^2} = x \)
\(3^{(a-2)} = x \)
Soru 6: \( a = \sqrt{3}-1 \) olduğuna göre,
\( \frac{(a+1).a.(a+2)}{\sqrt{3}} \)
işleminin sonucu kaçtır?
\( \frac{(a+1).a.(a+2)}{\sqrt{3}} \)
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: \( \frac{(a+1).a.(a+2)}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}.(\sqrt{3}-1).(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}} \)
\(= \frac{\sqrt{3}.(\sqrt{3})^2 – 1^2)}{\sqrt{3}}\)
\( \frac{\sqrt{3}.(3 – 1)}{\sqrt{3}} = 3-1 = 2\)
\(= \frac{\sqrt{3}.(\sqrt{3})^2 – 1^2)}{\sqrt{3}}\)
\( \frac{\sqrt{3}.(3 – 1)}{\sqrt{3}} = 3-1 = 2\)