Rasyonel Sayılar
Rasyonel Sayılar
\( a \) ve \( b \) tam sayılar ve \( b \neq 0 \) olmak üzere, \( \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir.
Rasyonel sayılar kümesi \( Q \) ile gösterilir:
Örnek: \( -\frac{3}{7}, \frac{6}{5}, -2, 0, 1 \) gibi sayılar rasyoneldir.
\( a \neq 0 \) olmak üzere:
\( \frac{0}{a} = 0 \), \( \frac{a}{0} \) = tanımsız, \( \frac{0}{0} \) = belirsiz.
Kesir Çeşitleri
Basit ve Bileşik Kesir
-
Basit Kesir: Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesirlere basit kesir denir.
Örnek: \( \frac{1}{3}, -\frac{3}{7}, \frac{2}{5}, -\frac{4}{9} \) sayıları basit kesirdir. -
Bileşik Kesir: Payı paydasından mutlak değerce büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.
Örnek: \( \frac{3}{2}, 1, \frac{22}{9}, -\frac{11}{4}, -2 \) sayıları bileşik kesirdir. -
\( |a| < |b| \) ise \( \frac{a}{b} \) basit kesirdir.
\( |a| \geq |b| \) ise \( \frac{a}{b} \) bileşik kesirdir.
Tam Sayılı Kesir
a, b, c pozitif tam sayılar olmak üzere, \( a \frac{b}{c} \) biçimindeki kesirlere tam sayılı kesir denir.
\( -a \frac{b}{c} = -\left(a + \frac{b}{c}\right) = -\frac{a \cdot c + b}{c} \)
Örneğin
\( -4 \frac{3}{7} = -\frac{4 \cdot 7 + 3}{7} = -\frac{31}{7} \)
Kesirlerin Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi
\( \frac{a}{b} \) kesrinin pay ve paydasını sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmaya genişletme, pay ve paydayı sıfırdan farklı bir sayıya bölmeye sadeleştirme denir.
k ≠ 0 ve k ∈ Z olmak üzere:
\( \frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k} \) (sadeleştirme)
- Bir kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesiyle oluşan tüm kesirlere denk kesirler denir.
Rasyonel Sayılarda Dört İşlem
Toplama ve Çıkarma
Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar eşit değilse eşitlenir.
- \(\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a \pm c}{b}\)
- \(\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}\)
- \(\frac{a}{b}\) sayısının toplama işlemine göre tersi \(-\frac{a}{b}\)’dir.
Çarpma ve Bölme
Rasyonel sayılarda çarpma yaparken pay ile pay, payda ile payda çarpılır.
- \(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)
- \(\frac{a}{b}\) kesrinin çarpma işlemine göre tersi \(\frac{b}{a}\)’dır.
Rasyonel sayılarda bölme yaparken birinci kesir aynı kalır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
- \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\)
- \(\frac{a}{b} : \frac{c}{1} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot c} = \frac{a}{b \cdot c}\)
UYARI
Karışık işlemlerin olduğu sorularda işlem önceliği olarak:
- Parantez içleri
- Üst alma
- Çarpma ve bölme
- Toplama ve çıkarma
sırası takip edilmelidir.
Ondalık Sayılar
Paydası 10’un pozitif tam sayı kuvvetleri şeklinde yazılabilen rasyonel sayılara ondalık sayılar denir.
- \(\frac{2}{10} = 0,2\)
- \(\frac{17}{100} = 0,17\)
- \(\frac{124}{1000} = 0,124\)
- \(\frac{3}{5} = 0,6\)
- \(\frac{7}{25} = 0,28\)
- \(\frac{11}{250} = 0,044\)
UYARI: Ondalık sayılar, kesirli ifadeler olarak da ifade edilebilir.
Ondalık Sayılarda Dört İşlem
Toplama ve Çıkarma
Verilen ondalık sayılar toplanır veya çıkarılırken virgüller alt alta getirilir. Virgülün sağında eksik kalan basamaklara sıfır yazılır.
- 2,4 + 12,25 = 2,40 + 12,25 = 14,65
- 21,5 – 14,73 = 21,50 – 14,73 = 6,77
- 3 – 1,46 = 3,00 – 1,46 = 1,54
Çarpma
Ondalık sayılar çarpılırken virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Çıkan sonuca çarpılan sayılardaki virgülden sonraki toplam basamak sayısı kadar sağdan basamak sayılarak virgül konulur.
- \((1,2) \times (4,5) = 5,40\)
- \((0,12) \times (2,3) = 0,276\)
- \((23,2) \times (1,4) = 32,48\)
Bölme
Ondalık sayılarda bölme işlemi yapılırken sayıları virgülden kurtarmak için pay ve paydada bulunan sayılarda virgül sağa doğru eşit sayıda kaydırılır.
- \(\frac{0,24}{0,04} = \frac{24}{4} = 6\)
- \(\frac{2,8}{0,04} = \frac{280}{4} = 70\)
- \(\frac{0,36}{1,2} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}\)
Devirli Ondalık Sayılar
Bir ondalık sayının virgülden sonraki kısmı periyodik olarak tekrar ediyorsa bu tür sayılara devirli ondalık sayı denir.
- \( 0,2444\ldots = 0,\overline{24} \)
- \( 0,121212\ldots = 0,\overline{12} \)
- \( 2,342342\ldots = 2,\overline{342} \)
- \( \frac{2}{3} = 0,66\ldots = 0,\overline{6} \)
Devirli Ondalık Sayının Rasyonel Sayıya Çevrilmesi
Bir devirli ondalık sayı, aşağıdaki formülle rasyonel bir ifadeye çevrilebilir:
\[\text{Bir devirli ondalık sayı} = \frac{\text{Sayının tamamı} – \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Virgülden sonra devreden kadar 9 devretmeyen kadar 0}} \]
- \( 0,\overline{ab} = \frac{\text{ab} – \text{a}}{90} \)
- \( 0,\overline{abc} = \frac{\text{abc} – \text{ab}}{990} \)
Örnekler
- \( 0,\overline{24} = \frac{24}{99} \)
- \( 0,\overline{121} = \frac{121}{999} \)
UYARI
Eğer devreden rakam sadece 9 ise, 9 atılır ve bir önceki rakama 1 eklenir.
- \( 0,2\overline{9} = 0,3 \)
- \( 0,27\overline{9} = 0,28 \)
- \( 1,\overline{9} = 2 \)
Rasyonel Sayılarda Sıralama
Pozitif Rasyonel Sayılarda
- Paydaları eşitse payı büyük olan daha büyüktür: \[ \frac{3}{7} < \frac{4}{7} < \frac{6}{7} \]
- Payları eşitse paydası küçük olan daha büyüktür: \[ \frac{3}{11} < \frac{3}{8} < \frac{3}{5} \]
- Pay ile payda arasındaki farkın eşit olduğu durumda:
- Sayılardan basit kesir ise payı büyük olan büyüktür: \[ \frac{5}{8} < \frac{11}{14} < \frac{14}{17} \]
- Sayılardan bileşik kesir ise payı büyük olan küçüktür: \[ \frac{9}{7} > \frac{7}{5} > \frac{5}{3} \]
Negatif Rasyonel Sayılarda
Negatif rasyonel sayılarda sıralama yaparken sayılar pozitif gibi düşünülerek sıralama yapılır, sonra eşitsizliklerin yönü değiştirilir.
Rasyonel Sayılar