Mutlak Değer
Mutlak Değer
x bir gerçek sayı olmak üzere, sayı doğrusu üzerindeki x sayısının başlangıç noktasına olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve |x| şeklinde gösterilir. Mutlak değer bir uzaklık ya da uzunluk kavramıdır, hiçbir zaman negatif olamaz.
- x sayısının başlangıç noktasına uzaklığı |x|
- x ile y sayıları arasındaki uzaklık |x – y| şeklinde gösterilir.
Mutlak değerin içindeki ifade negatif ise mutlak değerin dışına (-1) ile çarpılarak çıkarılır, pozitif veya sıfır ise olduğu gibi alınır. Örneğin: \[ |\sqrt{3} – 2| + |\sqrt{3} – 1| = -(\sqrt{3} – 2) + \sqrt{3} – 1 = -\sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} – 1 = 1 \]
- m tek bir tam sayı ise \( \sqrt[m]{x^m} = x \)
- m çift bir tam sayı ise \( \sqrt[m]{x^m} = |x| \)
Örnek
\[ \sqrt[3]{-8} + 4|(-3)|^4 – \sqrt{(-5)^2} \]İşleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
\[ -2 + | -3 | – | -5 | = -2 + 3 – 5 = -4 \]Mutlak Değerin Özellikleri
- \(|x| = |-x|\) veya \(|x – y| = |y – x|\)
- \(|x \cdot y| = |x| \cdot |y|\)
- y ≠ 0 olmak üzere, \(\left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|}\)
- n bir tam sayı olmak üzere, \(|x^n| = |x|^n\) ve \(|x^{2n}| = x^{2n}\)
- x ve y aynı işaretli gerçek sayıları ise \(|x + y| = |x| + |y|\)
- x ve y zıt işaretli gerçek sayıları ise \(|x + y| < |x| + |y|\)
Üçgen Eşitsizliği
x ve y gerçek sayılar ise |x| – |y| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| dir.
- Mutlak değerli ifadenin en küçük değeri 0’dır. Yani bütün x gerçek sayıları için |x| ≥ 0 olmalıdır.
- |x| + |y| = 0 ise x = 0 ve y = 0 olmalıdır.
|x – a| + |x – b| ifadesinin en küçük değerini bulmak için, mutlak değerli ifadeler ayrı ayrı sıfıra eşitlenip içini sıfır yapan x’ler bulunur. (Kritik nokta) Daha sonra bulunan x’ler ifade de yerine yazılıp en küçük değer bulunur.
Yani x = a ve x = b değerleri yazılır ve küçük olan sonuç alınır.
Mutlak Değerli Denklemler
|f(x)| = a denkleminin çözüm kümesi:
- a > 0 ise \( f(x) = a \) veya \( f(x) = -a \)
- a = 0 ise \( f(x) = 0 \)
- a < 0 ise \( \emptyset \)
a, b gerçek sayılar ve \( b \geq 0 \) olmak üzere:
- |x – a| = b denkleminin köklerinin toplamı 2a’dır.
|f(x)| = g(x) denklemi için:
- \( f(x) = g(x) \) veya \( f(x) = -g(x) \)
- Ancak \( g(x) \geq 0 \) koşulunu sağlayan kökler çözüm kümesine alınır.
|f(x)| = |g(x)| denklemi için:
- \( f(x) = g(x) \) veya \( f(x) = -g(x) \)
Mutlak Değerli Eşitsizlikler
\( a \in \mathbb{R}^+ \) olmak üzere:
- \( |f(x)| < a \) ise \( -a < f(x) < a \)
- \( |f(x)| > a \) ise \( f(x) > a \) veya \( f(x) < -a \)
- \( a < |f(x)| < b \) ise \( a < f(x) < b \) veya \( a < -f(x) < b \) dir.
Not
\( |f(x)| \leq |g(x)| \) veya \( |f(x)| > |g(x)| \) şeklindeki eşitsizliklerde iki tarafın karesi alınarak mutlak değer kaldırılır.
Örnek
\( |x – 1| < |x + 2| \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
\((x – 1)^2 < (x + 2)^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 < x^2 + 4x + 4 \Rightarrow -2x + 1 < 4x + 4 \Rightarrow -2x - 4x < 4 - 1 \Rightarrow -6x < 3 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}\)
\( Ç = \left( -\frac{1}{2}, \infty \right) \).
Not
\( |f(x)| = g(x) \) eşitsizliğinde \( f(x) = g(x) \) veya \( f(x) = -g(x) \) dir. Ancak \( g(x) \geq 0 \) koşulunu sağlayan kökler çözüm kümesine alınır.
Örnek
\( |x + 2| < 2x - 1 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
\( x + 2 < 2x - 1 \) ve \( -(x + 2) < 2x - 1 \) eşitsizlikleri çözülür:
\( x + 2 < 2x - 1 \Rightarrow -x < -3 \Rightarrow x > 3 \)
\( -(x + 2) < 2x - 1 \Rightarrow -x - 2 < 2x - 1 \Rightarrow -3x < 1 \Rightarrow x > -\frac{1}{3} \)
Kesişim alınarak \( Ç = (3, \infty) \).
Not
\( |f(x)| = f(x) \) ise \( f(x) \geq 0 \).
\( |f(x)| = -f(x) \) ise \( f(x) \leq 0 \).
Mutlak Değer