Üslü Sayılar Konu Özeti
Üslü Sayılar
x bir gerçek sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n tane x sayısının çarpımına x‘in n. kuvveti denir.
\( x^n = x \cdot x \cdot x \cdots x \) (n tane)
Örneğin:
\( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \)
\( \left( \frac{1}{5} \right)^3 = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{125} \)
- n bir tam sayı olmak üzere,
- n tek sayı ise \( (-1)^n = -1 \) olur.
- n çift sayı ise \( (-1)^n = 1 \) olur.
- \( 1^n = 1 \)’dir.
- x sıfırdan farklı ise \( x^0 = 1 \)’dir.
- \( 0^0 \) belirsizdir.
a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere,
- Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir: \( (-a)^{2n} = a^{2n} \)
- Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir: \( (-a)^{2n+1} = -a^{2n+1} \)
- \( (-a)^{2n} \neq -a^{2n} \)
\( a \neq 0 \), \( b \neq 0 \) ve \( n \in \mathbb{Z}^+ \) olmak üzere:
- \( a^{-1} = \frac{1}{a} \)
- \( a^{-n} = \left( a^{-1} \right)^n = \frac{1}{a^n} \)
- \( \left( \frac{a}{b} \right)^{-n} = \left( \frac{b}{a} \right)^n \)
- Sıfır sayısının çarpma işlemine göre tersi olmadığından negatif kuvvetleri tanımsızdır.
- Sıfır sayısının pozitif kuvvetleri ise yine sıfırdır.
- \( 0^{-1} \) tanımsızdır.
- \( 0^{-2} \) tanımsızdır.
Üslü Sayılarda Toplama – Çıkarma İşlemi
Üslü sayılarda toplama veya çıkarma işlemi yapılırken tabanı ve üssü aynı olanların katsayıları toplanır veya çıkarılır. Çıkan sonuç üslü sayının katsayısı olur.
\(x \cdot a^n + y \cdot a^n = (x + y) \cdot a^n\)
\(x \cdot a^n + y \cdot a^n – z \cdot a^n = (x + y – z) \cdot a^n\)
Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemi
Çarpma İşlemi: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır ve ortak tabanın üssü olarak yazılır.
\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
Üsleri aynı, tabanları farklı olan üslü sayılar çarpılırken tabanlar çarpılır ve üs ortak üs olarak yazılır.
\(a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m\)
Bölme İşlemi: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken payın üssünden paydanın üssü çıkarılır.
\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)
Üsleri aynı olan üslü ifadeler bölünürken tabanları birbirine bölünür.
\(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)
Not
Bir üslü ifadenin kuvveti alınırken üsler çarpılır.
\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
Örnek: \((0.2)^3 \cdot 625^2 = (5^{-1})^3 \cdot (5^4)^2 = 5^{-3} \cdot 5^8 = 5^{-3+8} = 5^5\)
Üslü Sayılarda Sıralama
Tabanları eşit olan üslü sayılardan:
-
Taban 1’den büyükse üssü büyük olan sayı daha büyüktür.
Örneğin
\(2^6, 8^3, 16^2\) sayılarının tabanı 1’den büyük olduğundan aynı tabanda yazalım.
\(8^3 = (2^3)^3 = 2^9\)
\(16^2 = (2^4)^2 = 2^8\)
Bu durumda doğru sıralama: \(2^6 < 2^8 < 2^9 \Rightarrow 2^6 < 16^2 < 8^3\) olur. -
Taban 1’den küçükse üssü küçük olan sayı daha büyüktür.
Örneğin
\(\left(\frac{2}{3}\right)^3, \left(\frac{9}{4}\right)^2, \left(\frac{8}{27}\right)^3\) sayılarını aynı tabanda yazalım.
\(\left(\frac{9}{4}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\)
\(\left(\frac{8}{27}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^9\)
Bu durumda: \(\left(\frac{2}{3}\right)^9 < \left(\frac{2}{3}\right)^5 < \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}\) olur. -
Tabanları farklı olan üslü sayıları karşılaştırmak için üsler eşitlenir.
Üsler eşitlendiğinde tabanı büyük olan sayı daha büyüktür.
Örneğin
\(2^{10}, 3^{15}, 5^5\) sayılarının tabanları farklı olduğundan üsleri eşitleyelim.
\(2^{10} = (2^2)^5 = 4^5\)
\(3^{15} = (3^3)^5 = 27^5\)
Bu durumda: \(4^5 < 5^5 < 27^5 \Rightarrow 2^{10} < 5^5 < 3^{15}\) olur.
Üslü Denklemler
1. Tabanları Eşit Olan Üslü Denklemler
Tabandaki sayının −1, 0, 1 olmadığı üslü denklemlerde eşitliğin iki tarafındaki tabanlar eşit ise üsler de eşittir.
\[ x^a = x^b \implies a = b \]
2. Üsleri Eşit Olan Üslü Denklemler
x, y ∈ ℝ – {−1, 0, 1} ve n ∈ ℤ – {0} olmak üzere, \(x^n = y^n\) denkleminde
- n tek ise \(x = y\)
- n çift ise \(|x| = |y|\) dir. (x = y veya x = −y)
3. \(a^n = 1\) Eşitliği
\(a^n = 1\) denkleminin sağlanması için aşağıdaki üç durum incelenir.
- n = 0 ve \(a \neq 0\) olmalıdır. (\(0^0\) belirsiz)
- a = 1 için \(n \in ℝ\) olmalıdır.
- a = −1 için n çift tam sayı olmalıdır.
Not
x, y ∈ ℝ – {−1, 0, 1} olmak üzere, \[ \begin{cases} x^n = y^m \\ x^a = y^b \end{cases} \implies \frac{n}{a} = \frac{m}{b} \]
Üslü İfadelerde Eşitsizlik
- Tabanı 1’den büyük olan üslü sayıların üssü büyüdükçe değeri büyür. \[ x > 1 \text{ için } x^a < x^b \text{ ise } a < b'\text{dir.} \]
- Tabanı 0 ile 1 arasında olan üslü sayıların üssü büyüdükçe değeri küçülür. \[ 0 < x < 1 \text{ için } x^a < x^b \text{ ise } a > b’\text{dir.} \]
Üslü Sayılar Konu Özeti
Üslü Sayılar Konu anlatımı