İçeriğe geç
Anasayfa » Problemler Konu Anlatımı

Problemler Konu Anlatımı

Problemler

Matematik İçerikleri
Sayı Problemleri
Sayı Problemleri

Sayı problemleri çözülürken yapılması gerekenler aşağıdaki gibidir:

  1. Problemede verilen ve istenenler belirlenir.
  2. Verilen ifadeler matematiksel ifadeye (denklem) dönüştürülür.
  3. Denklem çözülerek istenen bulunur.
ÖRNEK

Hangi sayının 2 katının 3 eksiği, aynı sayının yarısının 6 fazlasına eşittir?

ÇÖZÜM

\[ 2x – 3 = \frac{x}{2} + 6 \implies x = 6 \]

ÖRNEK

Toplamları 32 olan iki sayının birine 2 eklenip diğerinden 6 çıkartıldığında bu sayılar birbirine eşit oluyor. Buna göre, küçük sayı kaçtır?

ÇÖZÜM

\[ x + y = 32 \] \[ x + 2 = y – 6 \implies x – y = -8 \] \[ \text{ise } x = 12, \, y = 20 \]

GERİ Problemler Çözümlü Sorular ANA SAYFA
Kesir Problemleri
Kesir Problemleri

Bir sayının \(\frac{a}{b}\)‘si bulunurken bu sayı \(\frac{a}{b}\) ile çarpılır.

ÖRNEK

Bir sayının \(\frac{1}{2}\)‘si ile \(\frac{1}{3}\)‘ü toplanırsa sonuç 20 oluyor. Buna göre, bu sayı kaçtır?

ÇÖZÜM

\[ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 20 \implies x = 24 \]

NOT

Kesir problemlerinde kesirlerin paydalarının katı olacak şekilde bir bütün seçmek kolaylık sağlar.

ÖRNEK

Özkan önce parasının \(\frac{1}{3}\)‘ünü, sonra kalan parasının \(\frac{1}{4}\)‘ünü harcıyor. Özkan’ın geriye 1500 lirası kaldığına göre, başlangıçta kaç lirası vardı?

ÇÖZÜM

Başlangıçta: \(12x\)
\[ \frac{12x}{3} = 4x \implies \text{kalan para: } 8x \] \[ \frac{8x}{4} = 2x \implies \text{kalan para: } 6x = 1500 \] \[ x = 250 \, \text{lira} \] \[ 12x = 12 \cdot 250 = 3000 \]

GERİ Problemler Çözümlü Sorular ANA SAYFA
Yaş Problemleri
Yaş Problemleri

Bir kişinin yaşı ay hesabı gözetmeksizin Yaş = (Yaşanan yıl – Doğum yılı) olarak bulunur.

ÖRNEK

Hülya’nın doğum tarihi 1995’tir. Buna göre, Hülya 2023 yılında kaç yaşındadır?

ÇÖZÜM

2023 – 1995 = 28

ÖRNEK

Semra ve annesinin doğum tarihleri sırasıyla A ve B’dir. Buna göre, C yılında yaşları arasındaki fark kaçtır?

ÇÖZÜM

A – B

NOT

  • Bir kişinin bugünkü yaşı x ise:
    • a yıl sonraki yaşı (x + a)’dır.
    • a yıl önceki yaşı (x – a)’dır.
  • Bugünkü yaşları toplamı x olan n kişinin:
    • a yıl sonraki yaşları toplamı (x + a ⋅ n)’dir.
    • a yıl önceki yaşları toplamı (x – a ⋅ n)’dir.

ÖRNEK

Bugünkü yaşları toplamı 48 olan üç kişinin 6 yıl sonraki yaşlarının aritmetik ortalaması kaçtır?

ÇÖZÜM

48 + 18 = 66
Aritmetik ortalama = \( \frac{66}{3} = 22 \)

NOT
  • Bir kişinin bugünkü yaşı x, bu kişi a yıl önce doğmuş olsaydı yaşı x + a, a yıl sonra doğmuş olsaydı yaşı x – a olurdu.
  • İki kişi arasındaki yaş farkı sabittir.
ÖRNEK

Ela 3 yıl önce, Fatih 5 yıl sonra doğmuş olsaydı yaşları eşit olacaktı. İkisinin bugünkü yaşları toplamı 54 olduğuna göre, Ela’nın yaşı kaçtır?

ÇÖZÜM

Ela: x yaşında
Fatih: y yaşında
x + 3 = y – 5 olduğundan, y = x + 8
x + x + 8 = 54 ⇒ 2x + 8 = 54 ⇒ 2x = 46 ⇒ x = 23

GERİ Problemler Çözümlü Sorular ANA SAYFA
İşçi Problemleri
İŞÇİ PROBLEMLERİ

İşçi problemlerinin çözümü birim zaman kullanılarak yapılır.

  • A kişisi bir işi tek başına x saatte yaparsa 1 saatte \(\frac{1}{x}\)’ini yapar.
  • B kişisi bir işi tek başına y saatte yaparsa 1 saatte \(\frac{1}{y}\)’ini yapar.
  • İkisi birlikte t saatte işi bitiriyorlarsa \(t \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1\) olur.
  • C işçisi sabit hızla işin yarısını t saatte yaparsa tamamını \(2t\) saatte yapar.
  • D işçisi bir işi V hızla t saatte yaparsa aynı işi 2V hızla \(\frac{t}{2}\) saatte, 3V hızla \(\frac{t}{3}\) saatte bitirir.
ÖRNEK

Ahmet bir işi tek başına 9 saatte, Burak ise aynı işi tek başına 18 saatte bitiriyor.

Buna göre, ikisi birlikte bu işe başladığında bu işi kaç saatte bitirebilirler?

ÇÖZÜM

\(t \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{18}\right) = 1\)
\(t \cdot \frac{2}{18} = 1 \Rightarrow t = 6\)

ÖRNEK

Bir işi Alara ve Banu birlikte 8 saatte, Alara ve Canan birlikte 6 saatte, Banu ve Canan birlikte 12 saatte bitiriyor.

Buna göre, bu işi Banu tek başına kaç saatte bitirir?

ÇÖZÜM

\(\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{A} + \frac{1}{C} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{12}\)
Bu denklemler çözülerek B = 48 bulunur.

GERİ Problemler Çözümlü Sorular ANA SAYFA
Hareket Problemleri
Hareket Problemleri

Hareket problemleri, hareket eden bir hareketlinin sabit bir hızla belli bir sürede aldığı yola göre hesaplanması esasına dayanır.

Formül: \(x = V \cdot t\)

ÖRNEK 1

Hızı saatte 320 metre olan bir aracın 90 dakikada aldığı yol kaç kilometredir?

ÇÖZÜM

\(90 \, dk = \frac{90}{60} \, saat = \frac{3}{2} \, saat\)
\(x = 320 \cdot \frac{3}{2} = 480 \, m = 0.48 \, km\)

ÖRNEK 2

Bir araç saatte 60 kilometre hızla 3 saatte gittiği yolu, saatte 90 kilometre hızla kaç saatte geri döner?

ÇÖZÜM

\(Yol = 60 \cdot 3 = 90\)
\(t = \frac{Yol}{Hız} = \frac{90}{90} = 2 \, saat\)

ÖRNEK 3

Bir araç bir yolu saatte 80 kilometre hızla gittiğinde tam zamanında, aynı yolu saatte 90 kilometre hızla gittiğinde 20 dakika önce varıyor. Buna göre, bu araç bu yolu 60 kilometre hızla giderse kaç saatte varır?

ÇÖZÜM

\(20 \, dk = \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \, saat\)
\(80t = 90 \cdot (t – \frac{1}{3}) \Rightarrow t = 3 \, saat\)
\(Yol = 80 \cdot 3 = 240 \, km\)
\(t = \frac{Yol}{Hız} = \frac{240}{60} = 4 \, saat\)

NOT

Harekete başlama zamanları aynı olan iki hareketli herhangi bir noktada karşılaşıyor ise bu karşılaşma anına kadar geçen süreleri birbirine eşittir.

ÖRNEK 4

A ve C’den aynı anda birbirine doğru giden araçların hızları sırasıyla 70 km/saat ve 50 km/saattir.

Hız Problemi 1

İki araç ilk kez B noktasında yan yana geldiğine göre, \(\frac{|AB|}{|BC|}\) oranı kaçtır?

ÇÖZÜM

\(|AB| = 70 \cdot t \quad |BC| = 50 \cdot t \quad \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{70}{50} = \frac{7}{5}\)

NOT

Aralarında \(x \, \text{km}\) mesafe bulunan iki hareketli \(V_1\) ve \(V_2\) hızlarıyla aynı anda, aynı yönde hareket etsinler.

Hız Problemi 2

\(V_1 > V_2\), \(t\) saat sonra \(C\)’de yakalarsa \(x = (V_1 – V_2) \cdot t\)
\(V_1 \leq V_2\), yakalama olmaz.

ÖRNEK 5

Aralarında \(200 \, \text{km}\) mesafe bulunan \(A\) ve \(B\) kentlerindeki iki aracın hızları sırasıyla \(75 \, \text{km/saat}\) ve \(55 \, \text{km/saat}\)’tir.

Buna göre, hızlı olan araç, yavaş olanı kaç saat sonra yakalar?

ÇÖZÜM

\(200 = (75 – 55) \cdot t \quad \Rightarrow \quad t = 10\)

NOT

Araçların dairesel pist üzerinde aynı anda ve aynı yöne doğru hareket ettiklerinde \(t\) saat sonra karşılaşmaları:

Hız Problemi 3

\(V_1 > V_2\), Dairenin çevresi = \(x\)
\(x = (V_1 – V_2) \cdot t\)

ÖRNEK 6
Hız Problemi 4

Dairesel bir pist üzerindeki \(A\) noktasından iki araç \(65 \, \text{m/dk}\) ve \(40 \, \text{m/dk}\) hızları ile aynı anda, aynı yöne doğru hareket ediyorlar.

Dairesel pistin çevresi \(375 \, \text{metre}\) olduğuna göre, bu araçlar hareketlerinden en az kaç dakika sonra ilk kez yan yana gelirler?

ÇÖZÜM

\(375 = (65 – 40) \cdot t \quad \Rightarrow \quad t = 15\)

NOT

Aralarında \(x \, \text{km}\) mesafe bulunan iki hareketli \(V_1\) ve \(V_2\) hızlarıyla aynı anda birbirlerine doğru hareket etsinler.

Hız Problemi 5

Bu iki hareketli \(t\) saat sonra karşılaşıyorsa, \(x = (V_1 + V_2) \cdot t\)’dir.

ÖRNEK 7

Saatteki sırasıyla hızları \(70 \, \text{km/saat}\) ve \(80 \, \text{km/saat}\) olan iki araç aralarında \(450 \, \text{km}\) mesafe olan \(A\) ve \(B\) kentlerinden birbirlerine doğru hareket ediyor.

Hız Problemi 6

Buna göre, araçlar kaç saat sonra karşılaşır?

ÇÖZÜM

\(450 = (70 + 80) \cdot t \quad \Rightarrow \quad t = 3\)

Ortalama Hız
NOT

Aracın gittiği toplam yolun, toplam zamana oranına ortalama hız denir.

ÖRNEK

Bir araç saatte \(60 \, \text{km}\) hızla gidip aynı yolu \(80 \, \text{km}\) hızla dönüyor.

Buna göre, bu aracın gidiş-dönüşte ortalama hızı saatte kaç kilometredir?

ÇÖZÜM

Giderken \(4t\) sürede, dönüşte \(3t\) sürede gidilirse alınan yol \(240t\) olur.

\[ V_{\text{ort}} = \frac{480t}{4t + 3t} = \frac{480}{7} \]

GERİ Problemler Çözümlü Sorular ANA SAYFA
Yüzde Problemleri
Yüzde Problemleri

Bir sayının %\(a\)’sını bulmak sayıyı \(\frac{a}{100}\) ile çarpmaktır.

Sayı \(x\) ise %\(a\)’sı \(x \cdot \frac{a}{100}\)’dür.

ÖRNEK 1

120 sayısının %20’si kaçtır?

ÇÖZÜM

\[ 120 \cdot \frac{20}{100} = 24 \]

ÖRNEK 2

200 sayısının %15’i hangi sayının %10’una eşittir?

ÇÖZÜM

\[ 200 \cdot \frac{15}{100} = x \cdot \frac{10}{100} \quad \Rightarrow \quad x = 300 \]

NOT

\(A\) sayısının \(B\) sayısına göre yüzdesi \(\frac{A}{B} \cdot 100\)’dür.

ÖRNEK 3

Bir sınıfta 8 kız ve 12 erkek öğrenci vardır.
Buna göre, sınıfın yüzde kaçı kızdır?

ÇÖZÜM

\[ \frac{8}{8 + 12} \cdot 100 = 40 \]

NOT

Bir \(x\) sayısının %\(a\) fazlası \(x + x \cdot \frac{a}{100} = x \cdot \frac{100 + a}{100}\)’dür.

Bir \(x\) sayısının %\(a\) eksiği \(x – x \cdot \frac{a}{100} = x \cdot \frac{100 – a}{100}\)’dür.

ÖRNEK 4

320 sayısının %25 fazlası kaçtır?

ÇÖZÜM

\[ 320 + 320 \cdot \frac{25}{100} = 400 \]

ÖRNEK 5

Bir dairenin yarıçapı %10 artırıldığında alanı yüzde kaç artar?

ÇÖZÜM

\[ r = 10 \Rightarrow \pi \cdot r^2 = 100\pi \] \[ r’ = 10 \cdot \frac{110}{100} = 11 \quad \Rightarrow \quad \pi \cdot r’^2 = 121\pi \] \[ \%21 \text{ artar.} \]

GERİ Problemler Çözümlü Sorular ANA SAYFA
Kâr Zarar Problemleri
Kâr – Zarar Problemleri

Bir ürünün maliyet fiyatından fazla fiyata satılmasıyla oluşan farka kâr, daha düşük fiyata satılmasıyla oluşan farka zarar denir.

Kâr = Satış Fiyatı – Maliyet Fiyatı

Zarar = Maliyet Fiyatı – Satış Fiyatı

Örnek

Maliyet fiyatı \(4x + 50\) lira ve satış fiyatı \(8x\) lira olan bir üründen kâr edilebilmesi için \(x\)’in en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm

\[ 8x – \big(4x + 50\big) > 0 \implies 4x > 50 \implies x > 12,5 \implies x = 13 \]

Not

\(\text{Kâr yüzdesi} = \frac{\text{Kâr}}{\text{Maliyet}} \cdot 100\) ve \(\text{Zarar yüzdesi} = \frac{\text{Zarar}}{\text{Maliyet}} \cdot 100\)

Örnek

300 liraya alınan bir mal 360 liraya satıldığında oluşan kâr yüzdesi kaçtır?

Çözüm

\[ 360 – 300 = 60 \implies \text{Kâr} \\ \frac{60}{300} \cdot 100 = 20 \]

Not

Bir ürün %\(x\) kârla satılırsa satış fiyatı: \(\frac{\text{Maliyet} \cdot \big(100 + x\big)}{100}\),
%\(x\) zararla satılırsa satış fiyatı: \(\frac{\text{Maliyet} \cdot \big(100 – x\big)}{100}\) olur.

Örnek

Bir ürün 200 liraya satılırken önce %40 zam, sonra yeni fiyattan %10 indirim yapılıyor. Buna göre, son durumda satış fiyatı kaç liradır?

Çözüm

\[ 200 + \frac{200 \cdot 40}{100} = 280 \implies 280 – \frac{280 \cdot 10}{100} = 252 \text{ lira} \]

GERİ Problemler Çözümlü Sorular ANA SAYFA
Karışım Problemleri
Karışım Problemleri

Verilen bir karışım içinde bulunan bir saf maddenin;

Oranı = \(\frac{\text{Saf madde miktarı}}{\text{Tüm karışım miktarı}}\)

Yüzdesi = \(\frac{\text{Saf madde miktarı}}{\text{Tüm karışım miktarı}} \cdot 100\)

Örnek

20 gram şeker ve 60 gram su karıştırıldığında oluşan karışımın şeker yüzdesi kaçtır?

Çözüm

\(\frac{20}{60+20} \cdot 100 = 25\)

Örnek

60 gram tuzlu su karışımının %40’ı tuz olduğuna göre, bu karışımdaki tuz kaç gramdır?

Çözüm

\(60 \cdot \frac{40}{100} = 24\)

UYARI
  • Homojen bir karışımda saf madde yüzdesi her yerde aynıdır.
  • Karışımın bir kısmının dökülmesi karışımın yüzdesini değiştirmez.
  • Saf maddenin madde oranı %100’dür.
  • Saf suyun madde oranı %0’dır.
  • Ağırlıkça şeker oranı %\(a\) olan \(x\) gram şekerli su karışımı ile şeker oranı %\(b\) olan \(y\) gram şekerli su karışımı karıştırıldığında \((x + y)\) gram %\(c\)’lik karışım elde edilir. \[ \frac{x \cdot a}{100} + \frac{y \cdot b}{100} = \frac{(x + y) \cdot c}{100} \]
Örnek

Ağırlıkça %10’u tuz olan 20 gram tuzlu su karışımı ile %20’si tuz olan 30 gram tuzlu su karıştırılıyor.

Buna göre, yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

Çözüm

\(20 \cdot 10 + 30 \cdot 20 = 50 \cdot x \rightarrow x = 16\)

GERİ Problemler Çözümlü Sorular ANA SAYFA

Problemler