Fonksiyonlar Konu Anlatımı

Fonksiyonlar

A ve B boş kümeden farklı herhangi iki küme olmak üzere, \( A \times B = \{(x, y) \,|\, x \in A, y \in B\} \) kartezyen çarpım kümesinin her bir alt kümesine A’dan B’ye bir bağıntı denir.

A’dan B’ye tanımlanan \(f\) bağıntısı aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa bir fonksiyon olur:

1. A kümesinde eşleşmemiş eleman kalmamalıdır.
2. A kümesindeki herhangi bir eleman, B kümesinde bir ve yalnız bir eleman ile eşleşmelidir.

\(f: A \rightarrow B\) şeklinde gösterilir. Bu gösterimde \(x\) bağımsız değişken, \(y = f(x)\) bağımlı değişken olarak adlandırılır.

NOT

\(f: A \rightarrow B\) gösteriminde A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine fonksiyonun değer kümesi adı verilir.
A kümesinin elemanlarının, f fonksiyonuyla B kümesindeki elemanlardan oluşan kümeye f fonksiyonunun görüntü kümesi denir ve \(f(A) \subseteq B\) dir.

Örnek

Yukarıda Venn şeması ile gösterilen \(f: A \rightarrow B\) fonksiyonunun;

I. Tanım kümesi \( \{1, 2, 3\} \)’tür.
II. Görüntü kümesi \( \{b, c\} \)’dir.
III. Değer kümesi \( \{a, b, c, d\} \)’dir.

İfadelerinden hangileri doğrudur?

Çözüm

\(f\) fonksiyonu A’dan B’ye tanımlıdır. A kümesindeki elemanlar \(b, c\) ile eşleşmiştir.
Tanım kümesi: \( \{1, 2, 3\} \)
Görüntü kümesi: \( \{b, c\} \)
Değer kümesi: \( \{a, b, c, d\} \)

Doğru seçenek: E) I, II ve III

NOT

\(A \neq \emptyset\) ve \(B \neq \emptyset\) olmak üzere A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek fonksiyonların sayısı \(s(B)^{s(A)}\)’dir.

Örnek

\(A = \{1, 2, 3, 4\}\) ve \(B = \{a, b, c\}\) olmak üzere, A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek kaç farklı fonksiyon vardır?

Çözüm

\(s(B)^{s(A)} = 3^4 = 81\)

İçine ya da Örten Fonksiyon

A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, f: A → B biçiminde tanımlanan f fonksiyonu için:

Değer kümesinde en az bir tane eleman boşta kalıyorsa yani \( f(A) \neq B \) ise f fonksiyonuna içine fonksiyon denir.
Değer kümesinde boşta eleman kalmıyorsa yani \( f(A) = B \) ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.

Örnek

\( A = \{1, 2, 3, 4\} \) kümesi üzerinde tanımlı olan:
\( f = \{(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2)\} \)
\( g = \{(1, 1), (3, 4), (2, 3), (4, 1)\} \)
\( h = \{(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)\} \)
fonksiyonlarından hangileri örtendir?

Çözüm

\( f(A) = \{1, 2, 3, 4\} = A \Rightarrow f \text{ örtendir.} \)
\( g(A) \neq A \) ve \( h(A) \neq A \Rightarrow g \text{ ve } h \text{ içine fonksiyondur.} \)

Bire Bir Fonksiyon

A ve B boş kümeden farklı birer küme olmak üzere, f: A → B biçiminde tanımlanan f fonksiyonu için tanım kümesindeki elemanların görüntüleri birbirinden farklı ise f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir.

Yani “∀x₁, x₂ ∈ A için x₁ ≠ x₂ iken f(x₁) ≠ f(x₂)” ya da
“∀x₁, x₂ ∈ A için f(x₁) = f(x₂) iken x₁ = x₂” oluyorsa f fonksiyonu birebirdir.

Örnek

Yukarıda Venn şemasında verilen \( f, g \text{ ve } h \) fonksiyonlarından hangileri hem bire bir hem de örtendir?

Çözüm

g ve h bire birdir, f ve g de örtendir.

NOT

\( s(A) = m \), \( s(B) = n \) olmak üzere, A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı \( P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} \) dir. (\( m \leq n \))

Örnek

\( s(A) = 3 \) ve \( s(B) = 4 \) olmak üzere,
A kümesinden B kümesine tanımlı fonksiyonlardan kaç tanesi bire bir değildir?

Çözüm

\( 4^3 – P(4, 3) = 64 – 24 = 40 \)

Birim Fonksiyon

Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
Birim fonksiyon \( I(x) = x \) biçiminde gösterilir.

Örnek

Gerçek sayılarda tanımlı \( f \) birim fonksiyonu için
\( f(3a + 2) + f(4) = f(a) \)
olduğuna göre, \( a \) kaçtır?

Çözüm

\( f(3a + 2) = 3a + 2 \), \( f(4) = 4 \) ve \( f(a) = a \) olduğundan
\( 3a + 2 + 4 = a \)
\( 3a + 6 = a \)
\( 2a = -6 \implies a = -3 \)
\( a = -3 \) olur.

Sabit Fonksiyon

\( f: A \to B \) fonksiyonunun tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki yalnız bir elemana eşleyen f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
\( c \in B \) olmak üzere, \( f(x) = c \) biçiminde gösterilir. Ayrıca \( c = 0 \) için \( f(x) = 0 \) fonksiyonuna sıfır fonksiyonu denir.

Örnek

\( f(x) = ax^2 + 4x^2 + (b – 1)x + a \cdot b \)
Sabit fonksiyon olduğuna göre, \( f(a + b) \) kaçtır?

Çözüm

\( a + 4 = 0 \) ve \( b – 1 = 0 \implies a = -4 \), \( b = 1 \)
\( f(x) = 4 \)
\( f(a + b) = 4 \) olur.

Not

\( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) fonksiyonu sabit fonksiyon ise, \( f(x) = \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \) dir.

Örnek

\( f : \mathbb{R^+} \to \mathbb{R} \) olmak üzere,
\( f(x) = \frac{3x + n + 1}{x + 2} \)
Fonksiyon sabit fonksiyon olduğuna göre, \( f(2) + n \) toplamı kaçtır?

Çözüm

\( f \) sabit fonksiyon \( \implies \frac{3}{1} = \frac{n + 1}{2} \)
\( n + 1 = 6 \implies n = 5 \)
\( f(2) = 3 \) olduğundan \( f(2) + n = 3 + 5 = 8 \).

Not

A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek sabit fonksiyon sayısı \( s(B) \) dir.

Doğrusal Fonksiyon

\( a, b \in \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + b \) biçiminde tanımlanan fonksiyona doğrusal fonksiyon denir.

Örnek

\( f(x) = (a – 2)x^2 + 4x – a + 1 \)
Doğrusal fonksiyonuna göre, \( f(1) \) kaçtır?

Çözüm

\( a – 2 = 0 \implies a = 2 \)
\( f(x) = 4x – 1 \)
\( f(1) = 4 \cdot 1 – 1 = 3 \)

Örnek

\( f \) doğrusal fonksiyonu için
\( f(1) = 4 \)
\( f(-2) = -2 \)
Olduğuna göre, \( f(0) \) kaçtır?

Çözüm

\( f(x) = ax + b \) olsun.
\( f(1) = 4 \implies a + b = 4 \)
\( f(-2) = -2 \implies -2a + b = -2 \)

\( a \)	\( b \)	Fonksiyon	\( f(0) \)
2	2	\( f(x) = 2x + 2 \)	2

Tek ve Çift Fonksiyonlar

\( f: [-a, a] \to \mathbb{R}, y = f(x) \) fonksiyonunda:
\( \forall x \in [-a, a] \), \( f(-x) = f(x) \) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir.
\( \forall x \in [-a, a] \), \( f(-x) = -f(x) \) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
Sıfır fonksiyonu hem tek hem de çift fonksiyondur.

Örnek

\( f \) tek ve \( g \) çift fonksiyon olmak üzere,
\( (-3, 1) \in f \) ve \( (-2, -1) \in g \)
Olduğuna göre, \( f(3) + g(2) \) kaçtır?

Çözüm

Tek fonksiyon için: \( f(-3) = 1 \implies f(3) = 1 \)
Çift fonksiyon için: \( g(-2) = -1 \implies g(2) = -1 \)

\( f(3) \)	\( g(2) \)	\( f(3) + g(2) \)
1	-1	-2

Parçalı Fonksiyonlar

Tanım kümesinin alt aralıklarından farklı kurallarla tanımlanan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir.

\[ f(x) = \begin{cases} g(x), & \text{a < x ≤ b ise} \\ h(x), & \text{b < x < c ise} \end{cases} \]

Bu fonksiyonda a, b ve c ifadeleri f fonksiyonunun kritik noktalarıdır. Ayrıca g ve h fonksiyonları da f fonksiyonunun dallarıdır.

Örnek

\( f(x) = \begin{cases} x^2 + x, & x \leq 2 \\ -2x, & x > 2 \end{cases} \)
Parçalı fonksiyonuna göre,
\( f(0) + f(2) + f(3) \) toplamının değeri kaçtır?

Çözüm

\( f(0) = 0^2 + 0 = 0 \),
\( f(2) = 2^2 + 2 = 6 \),
\( f(3) = -2 \cdot 3 = -6 \)

\( f(0) \)	\( f(2) \)	\( f(3) \)	\( f(0) + f(2) + f(3) \)
0	6	-6	0

Fonksiyonlarda Dört İşlem

A ve B kesişimleri boş kümeden farklı iki küme olmak üzere, \( f: A \to \mathbb{R} \) ve \( g: B \to \mathbb{R} \) fonksiyonları için:

\( f + g = A \cap B \to \mathbb{R}, \, (f + g)(x) = f(x) + g(x) \)
\( f – g = A \cap B \to \mathbb{R}, \, (f – g)(x) = f(x) – g(x) \)
\( f \cdot g = A \cap B \to \mathbb{R}, \, (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \)
\( k \cdot f: A \to \mathbb{R}, \, (k \cdot f)(x) = k \cdot f(x) \)
\( \frac{f}{g} = A \cap B \to \mathbb{R}, \, \left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \, g(x) \ne 0 \)

Örnek

Gerçek sayılarda tanımlı,
\( f(x) = x + 2 \) ve \( g(x) = 3x – 5 \)
Fonksiyonları için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) \( (f + g)(x) = 4x – 3 \)
B) \( (f – 2g)(x) = -5x + 12 \)
C) \( (f \cdot g)(x) = 3x^2 + x – 10 \)
D) \( (f – g)(1) = 5 \)
E) \( (2f + g)(0) = 1 \)

Çözüm

\( (2f + g)(0) = 2 \cdot f(0) + g(0) \)
\( f(0) = 2, \, g(0) = -5 \):
\( (2f + g)(0) = 2 \cdot 2 + (-5) = -1 \)
Dolayısıyla E şıkkı yanlıştır.

Şık	Sonuç	Doğru/Yanlış
A	\( 4x – 3 \)	Doğru
B	\( -5x + 12 \)	Doğru
C	\( 3x^2 + x – 10 \)	Doğru
D	\( 5 \)	Doğru
E	\( -1 \)	Yanlış

Eşit Fonksiyonlar

f ve g fonksiyonları \( \forall x \in A \) için \( f(x) = g(x) \) biçiminde yazılabiliyorsa, f ile g fonksiyonlarına eşit fonksiyonlar denir.

Örnek

\( f(x) = a x^2 + (b – 3)x + 1 \)
\( g(x) = 2x^2 + c – 1 \)
Fonksiyonları eşit fonksiyonlar olduğuna göre,
\( a + b + c \) toplamı kaçtır?

Çözüm

\( f(x) = g(x) \) olduğundan katsayılar eşitlenir:
\( a = 2 \), \( b – 3 = 2 \), \( 1 = c – 1 \)
Buradan:
\( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = 2 \)

a	b	c	\( a + b + c \)
2	3	2	7

Sonuç: \( a + b + c = 7 \) olur.

Bileşke Fonksiyon

Tanım: f : A → B ve g : B → C fonksiyonları verilsin. A kümesinin elemanlarını f ve g fonksiyonlarının yardımıyla C kümesinin elemanları ile eşleştiren fonksiyona bileşke fonksiyon denir ve gof ile gösterilir.

(gof)(x) = g(f(x))

ÖRNEK

Yukarıda Venn şemasında verilen f ve g fonksiyonları için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) (gof)(a) = b
B) (gof)(e) = n
C) f(a) = d
D) (gof)(b) = p
E) (gof)(c) = b

Çözüm:

(gof)(c) = g(f(c)) = g(e) = n olduğundan E şıkkı yanlıştır.

ÖRNEK

Fonksiyonlarına göre, (fog)(1) + (gof)(-1) toplamının değeri kaçtır?

f = {(-1, 0), (1, 2), (2, -3), (3, 4)}
g = {(0, 1), (1, 3), (2, -1)}

Çözüm:

(fog)(1) + f(g(1)) = f(3) = 4

(gof)(-1) = g(f(-1)) = g(0) = 1

Toplam: 4 + 1 = 5

NOT

fo(goh) = (fog)oh
foI = Iof = f (I birim fonksiyon)
Özel durumlar dışında fog ≠ gof

ÖRNEK

Gerçek sayılarda tanımlı,

f(x) = 2x
g(x) = x²
h(x) = x + 1

fonksiyonlarına göre, (fogoh)(2) kaçtır?

Çözüm:

(fogoh)(2) = f(g(h(2))) = f(g(3)) = f(9) = 18

ÖRNEK

(goh)(x) = 3x – 1

f(x) = 2x – 1

olduğuna göre, go(hof)(2) kaçtır?

Çözüm:

go(hof)(2) = (goh)of(2) = (goh)(3) = 8 bulunur.

Bir Fonksiyonun Tersi

\( f : A \to B, y = f(x) \) fonksiyonu bire bir ve örten olmak üzere, \( f^{-1} : B \to A, y = f^{-1}(x) \) fonksiyonuna f fonksiyonunun ters fonksiyonu denir.

Eğer \( (x, y) \in f \), o zaman \( (y, x) \in f^{-1} \) ve \( f(x) = y \implies f^{-1}(y) = x \) olur.

NOT: Bir \( y = f(x) \) fonksiyonunun tersini bulmak için \( x \) yalnız bırakılır. Daha sonra \( x \) yerine \( y \), \( y \) yerine \( x \) yazılır. Böylece \( y \) ifadesi \( f^{-1}(x) \)’e eşit olur.

Örnek 1

\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x – 3 \) fonksiyonunun tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \frac{x + 3}{2} \)
B) \( -2x + 3 \)
C) \( \frac{x + 2}{3} \)
D) \( 3x – 2 \)
E) \( -3x + 2 \)

\( y = 2x – 3 \implies x = \frac{y + 3}{2} \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{2} \)

Örnek 2

\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x – 1}{3} \) fonksiyonunun tersi \( f^{-1}(x) = ax + b \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?

\( y = \frac{x – 1}{3} \implies x = 3y + 1 \implies f^{-1}(x) = 3x + 1 \implies a \cdot b = 3 \cdot 1 = 3 \)

Örnek 3

\( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x – 1 \) fonksiyonuna göre, \( f^{-1}(7) \) kaçtır?

\( f(x) = 2x – 1 \implies f^{-1}(x) = \frac{x + 1}{2} \implies f^{-1}(7) = \frac{7 + 1}{2} = 4 \)

NOT:

\( f(x) = ax + b \implies f^{-1}(x) = \frac{x – b}{a} \)
\( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \implies f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx – a} \)

Örnek 4

\( f : \mathbb{R} \setminus \{3\} \to \mathbb{R} \setminus \{4\}, f(x) = \frac{8x + 5}{2x – 6} \) olduğuna göre, \( f^{-1}(x) \) aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( \frac{-6x + 5}{2x – 8} \)
B) \( \frac{6x + 5}{2x + 8} \)
C) \( \frac{6x + 5}{2x – 8} \)
D) \( \frac{8x – 2}{5x – 6} \)
E) \( \frac{8x – 2}{-5x – 6} \)

\( f(x) = \frac{8x + 5}{2x – 6} \implies f^{-1}(x) = \frac{6x + 5}{2x – 8} \) bulunur.

Örnek 5

\( f : \mathbb{R} \setminus \{a\} \to \mathbb{R} \setminus \{b\}, f(x) = \frac{3 – x}{x – 4} \) fonksiyonunun tersi de fonksiyon olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?

\( f(x) = \frac{-x + 3}{x – 4} \implies f^{-1}(x) = \frac{4x + 3}{x + 1} \)
Tanım Kümesi (\( TK_f \)) = \( \mathbb{R} \setminus \{4\} \), Görüntü Kümesi (\( GK_f \)) = \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \)

Örnek 6

\( f : (-\infty, 2] \to [-2, \infty) \) olmak üzere, \( f(x) = x^2 – 4x + 2 \) fonksiyonuna göre, \( f^{-1}(7) \) kaçtır?

\( y = x^2 – 4x + 4 – 2 \implies (x – 2)^2 = y + 2 \)
\( |x – 2| = \sqrt{y + 2} \implies x – 2 = \pm \sqrt{y + 2} \)
\( x = 2 – \sqrt{y + 2} \implies f^{-1}(7) = 2 – \sqrt{7 + 2} \implies f^{-1}(7) = -1 \)

Not

Tersi de fonksiyon olan \( f \) fonksiyonu için,
\( f o f^{-1} = f^{-1} o f = I \)
\( (f^{-1})^{-1} = f \)

Örnek 7

\( f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f^{-1}(x) = \frac{1 – 2x}{3} \) olduğuna göre, \( f(x) \) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( \frac{1 – 3x}{2} \)
B) \( \frac{2 – x}{3} \)
C) \( \frac{3 – x}{2} \)
D) \( 2x – 3 \)
E) \( 3x – 2 \)

\( (f^{-1})^{-1} = f \) olduğundan \( f(x) = \frac{1 – 3x}{2} \) bulunur.

Örnek 8

Uygun koşullarda tanımlı \( f \) ve \( g \) fonksiyonları için,
\( (g o f)(x) = 3x + 1 \) ve \( f^{-1}(x) = 2x \)
olduğuna göre, \( g(x) \) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( 2x + 3 \)
B) \( 3x + 2 \)
C) \( 6x \)
D) \( 6x + 1 \)
E) \( 6x + 4 \)

\( g o f o f^{-1} = g \implies g(x) = (3x + 1) o (2x) \)
\( g(x) = 6x + 1 \) bulunur.

Not

\( (f o g)^{-1} = g^{-1} o f^{-1} \)
\( (f o g o h)^{-1} = h^{-1} o g^{-1} o f^{-1} \)

Örnek

\( f(x) = x^3 + 1 \) ve \( g(x) = 2x + 3 \)
olduğuna göre, \( (f^{-1} o g)^{-1}(2) \) kaçtır?

\( (f^{-1} o g)^{-1}(2) = (g^{-1} o f)(2) = g^{-1}(f(2)) = g^{-1}(9) = 3 \) bulunur.

Geri Fonksiyonlar Çözümlü Sorular Ana Sayfa

Fonksiyon Grafikleri:

Doğrusal fonksiyon grafik çizimi

Mutlak değer fonksiyon grafik çizimi