İkinci Dereceden Denklemler
\(a, b, c\) birer gerçek sayı ve \(a \neq 0\) olmak üzere,
\(ax^2 + bx + c = 0\)
ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
Örnek
\((a – 7)x^3 + x^2 – 2b + 3 + ax – b = 0\) ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduğuna göre, \(a + b\) toplamı kaçtır?
\(a – 7 = 0 \Rightarrow a = 7\)
\(a – 2b + 3 = 2 \Rightarrow 10 – 2 = 2b \Rightarrow b = 4\)
\(a + b = 7 + 4 = 11\) bulunur.
Not
\(a, b, c\), gerçek sayı, \(a \neq 0\) olmak üzere,
\(ax^2 + bx + c = 0\)
denklemini sağlayan \(x\) değerlerine denklemin kökleri, denklemin köklerinin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir.
Örnek
\(2x^2 – (k + 1)x – 2k = 0\) denkleminin bir kökü 3 olduğuna göre, \(k\) değeri kaçtır?
\(x = 3\) kök denklemi sağlar.
\(2 \cdot 3^2 – 3(k + 1) – 2k = 0\)
\(15 = 5k \Rightarrow k = 3\)
İkinci Dereceden Denklemlerin Çözümü
1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi
Verilen ifade çarpanlarına ayrılıp her bir çarpanı sıfır yapan değerler bulunur.
Örnek
\(x^2 – 3x – 10 = 0\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
\(x^2 – 3x – 10 = 0\)
\((x – 5) \cdot (x + 2) = 0\)
\(x = 5\), \(x = -2\)
Ç.K. = \(\{-2, 5\}\)
Örnek
\(x^2 – 13x + 30 = 0\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
\(x^2 – 13x + 30 = 0\)
\((x – 3) \cdot (x – 10) = 0\)
\(x = 3\), \(x = 10\)
Ç.K. = \(\{3, 10\}\)
2. Değişken Değiştirme Yöntemi
Verilen ifadede değişken değiştirilerek II. dereceden denklem hâline getirilip kökleri bulunur.
Örnek
\(x^4 – 5x^2 + 4 = 0\) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
\(x^2 = a\) olsun.
\(a^2 – 5a + 4 = 0\)
\((a – 4)(a – 1) = 0\)
\(a = 4\) ve \(a = 1\)
\(x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\)
\(x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)
Çözüm kümesi: \(\{-2, -1, 1, 2\}\)
Not
Verilen değişkenli ifade tamkareye dönüştürülüp kökler bulunur.
Örnek
\(x^2 – 4x + 1 = 0\) denkleminin köklerini tamkareye tamamlama yöntemiyle bulunuz.
\(x^2 – 4x + 1 = 0\) denklemini tamkare ifade bulmamız için 4 ekleyip 4 çıkartmalıyız.
\(x^2 – 4x + 4 + 1 – 4 = 0\)
\((x – 2)^2 = 3\)
\(|x – 2| = \sqrt{3}\)
\(x = 2 + \sqrt{3}, \, x = 2 – \sqrt{3}\)
Diskriminant Yöntemi
\(a \neq 0\) olmak üzere, \(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminin diskriminantı \(\Delta = b^2 – 4ac\)’dir.
Denklemin kökleri:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) ve \(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Örnek
\(x^2 – 6x + 3 = 0\) denkleminin köklerini diskriminant yöntemiyle bulunuz.
\(\Delta = b^2 – 4ac = 36 – 4 \cdot 3 = 24\)
\(x_1 = \frac{6 + \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = 3 + \sqrt{6}\)
\(x_2 = \frac{6 – \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = 3 – \sqrt{6}\)
Örnek
\(x^2 + 4x – 3 = 0\) denkleminin köklerini bulunuz.
\(\Delta = b^2 – 4ac = 16 – 4 \cdot (-3) = 28\)
\(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{28}}{2} = -2 + \sqrt{7}\)
\(x_2 = \frac{-4 – \sqrt{28}}{2} = -2 – \sqrt{7}\)
Not
\(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminde:
\(\Delta = b^2 – 4ac > 0\) ise, denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
Kökler:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\), \(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Örnek
\(2x^2 – 7x + m = 0\) denkleminin birbirinden farklı iki gerçek kökünün olması için \(m\)’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
\(\Delta > 0\) olmalıdır.
\(49 – 4 \cdot 2 \cdot m > 0\)
\(49 > 8m \Rightarrow \frac{49}{8} > m \Rightarrow m_{\text{max}} = 6\)
Not
\(ax^2 + bx + c = 0\) denkleminde:
Eğer \(\Delta = b^2 – 4ac = 0\) ise, denklemin birbirine eşit iki gerçek kökü vardır:
\(x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}\)
Uyarı
Denklemin çakışık iki kökü olması, çift katlı kök olması, tam kare belirtmesi, çözüm kümesinin tek elemanlı olması ve grafiğinin \(x\) eksenine teğet olması ifadeleri, hep \(\Delta = 0\) durumundan çözülür.
Örnek
\(x^2 + (a – 2)x + 9 = 0\) denkleminin birbirine eşit iki kökü olduğuna göre, \(a\)’nın alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?
\(\Delta = 0\) olmalıdır.
\((a – 2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 0\)
\(a^2 – 4a – 32 = 0\)
Buradan \(a = 8\) ve \(a = -4\) bulunur.
\(a\)’nın alabileceği değerlerin çarpımı: \(8 \cdot (-4) = -32\)
Not
\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminde:
- Eğer \(\Delta = b^2 – 4ac < 0\) ise:
- Denklemin gerçek sayılar kümesinde kökü yoktur.
- Çözüm kümesi boş kümedir.
Örnek
\( (a + 1)x^2 – 6x + 3 = 0 \) denkleminin gerçek kökü olmadığına göre, \( a \)’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm
\( \Delta < 0 \) olmalıdır.
\( 36 – 4 \cdot (a + 1) \cdot 3 < 0 \)
\( 24 < 12a \)
\( 2 < a \implies a_{min} = 3 \)
Kökler ve Özellikleri
\( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \) olsun.
- I. \( x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \) (Kökler toplamı)
- II. \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \) (Kökler çarpımı)
- III. \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{-b}{c} \)
- IV. \( |x_1 – x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \)
- V. \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2 \cdot x_1 \cdot x_2 \)
Örnek
\( x^2 – 4x + 2 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)’dir.
Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz:
- a) \( x_1 + x_2 \)
- b) \( x_1 \cdot x_2 \)
- c) \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \)
- d) \( |x_1 – x_2| \)
- e) \( x_1^2 + x_2^2 \)
Çözüm
| a) \( x_1 + x_2 = \frac{-(-4)}{1} = 4 \) |
| b) \( x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{1} = 2 \) |
| c) \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{4}{2} = 2 \) |
| d) \( |x_1 – x_2| = \frac{\sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2}}{1} = \frac{\sqrt{16 – 8}}{1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) |
| e) \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2 \cdot x_1 \cdot x_2 = 4^2 – 2 \cdot 2 = 16 – 4 = 12 \) |
Örnek
\( 2x^2 + 6x – 3 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)’dir.
Buna göre, \( (x_1 – 1) \cdot (x_2 – 1) \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm
\( x_1 + x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \)
\( x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{2} \)
\( (x_1 – 1) \cdot (x_2 – 1) = x_1 \cdot x_2 – (x_1 + x_2) + 1 \)
\( = -\frac{3}{2} – (-3) + 1 = -\frac{3}{2} + 3 + 1 = \frac{5}{2} \)
Not
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
Denklemin simetrik iki gerçek kökü varsa;
- x1 + x2 = 0
- x1 * x2 < 0 olmalıdır.
Örnek
(m – 1)x2 + (m – 2)x – 8m = 0 denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre, denklemin köklerini bulunuz.
Çözüm
x1 + x2 = 0 (simetrik kök)
\(\frac{(m – 2)}{(m – 1)} = 0 \) → m = 2
Denklem: x2 – 8 = 0
x2 – 16 = 0 → x = -4, x = 4 bulunur.
Not
Örnek
Denklemleri:
| x2 – (m + 1)x + 8 = 0 |
| x2 – (m – 2)x – 4 = 0 |
Denklemlerinin birer kökleri ortak olduğuna göre, m kaçtır?
Çözüm
Denklemleri alt alta yazalım:
x2 – (m + 1)x + 8 = 0
– 1/ x2 – (m – 2)x – 4 = 0
Ortak kökü bulmak için:
| -mx – x + 8 + (m – 2)x + 4 = 0 |
| Ortak kök x = 4’tür. Denklemlerden birine koyalım: |
| 16 – 4m + 4 + 8 = 0 |
Sonuç: m = 5.
Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemin Yazılması
Bu denklem düzenlenirse, \(x^2 – (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2 = 0\) olur.
\(x_1 + x_2 = T\), \(x_1 \cdot x_2 = Ç\) olsun.
Denklem: \(x^2 – T \cdot x + Ç = 0\) olur.
Örnek
Kökleri \(x_1 = -6\) ve \(x_2 = 4\) olan ikinci dereceden denklem nedir?
Çözüm
Toplam ve çarpımı hesaplayalım:
| \(x_1 + x_2 = -6 + 4 = -2\) |
| \(x_1 \cdot x_2 = -6 \cdot 4 = -24\) |
Denklem:
| \(x^2 – T \cdot x + Ç = 0 \implies x^2 + 2x – 24 = 0\) |
Örnek
\(x^2 – 4x – 1 = 0\) denkleminin kökleri \(x_1\) ve \(x_2\)’dir.
Kökleri \(\frac{2}{x_1}\) ve \(\frac{2}{x_2}\) olan ikinci dereceden denklem nedir?
Çözüm
Verilen denklemden:
| \(x_1 + x_2 = 4\) |
| \(x_1 \cdot x_2 = -1\) |
Yeni köklerin toplamı ve çarpımı:
| \(T = \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = 2 \cdot \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{2 \cdot 4}{-1} = -8\) |
| \(Ç = \frac{2}{x_1} \cdot \frac{2}{x_2} = \frac{4}{x_1 \cdot x_2} = \frac{4}{-1} = -4\) |
Yeni denklem:
| \(x^2 + 8x – 4 = 0\) |
Örnek
Gerçek kökleri \(x_1\) ve \(x_2\) arasında,
\((x_1 – x_2 + 6)^2 + (2x_1 + x_2 + 9)^2 = 0\)
bağıntısı olan ikinci dereceden denklem nedir?
Çözüm
Denklemi düzenleyelim:
| \((x_1 – x_2 + 6)^2 = 0 \implies x_1 – x_2 = -6\) |
| \((2x_1 + x_2 + 9)^2 = 0 \implies 2x_1 + x_2 = -9\) |
Bu iki bağıntıyı kullanarak:
| \(x_1 – x_2 = -6\) |
| \(2x_1 + x_2 = -9\) |
| \(3x_1 = -15 \implies x_1 = -5, x_2 = 1\) |
Denklem:
| \(x^2 + 4x – 5 = 0\) |
Sanal Sayı Birimi
\(x^2 + 1 = 0\) denkleminin çözümünü yaptığımızda:
\(x^2 = -1 \implies x = \sqrt{-1}\) veya \(x = -\sqrt{-1}\) elde edilir.
\(\sqrt{-1} \notin \mathbb{R}\) olduğundan çözüm kümesi \(\mathbb{R}\)’de boş kümedir.
\(\sqrt{-1} = i\) (\(i^2 = -1\)) olmak üzere, \(x^2 + 1 = 0\) denkleminin çözümü \(x = i\) veya \(x = -i\) elde edilir.
Yukarıdaki denklemi sağlayan \(i\) sayısına sanal (imajiner) sayı birimi denir.
Örnek 1
\(i^2 = -1\) olmak üzere, aşağıdaki ifadeleri sanal birim türünden ifade ediniz.
a) \(\sqrt{-4}\), b) \(\sqrt{-16}\), c) \(\sqrt{-25}\), d) \(\sqrt{-72}\), e) \(\sqrt{-18}\), f) \(\sqrt{-100}\)
Çözüm
| a) \(\sqrt{-4} = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{4} = 2i\) | d) \(3\sqrt{2}i\) |
| b) \(4i\) | e) \(6\sqrt{2}i\) |
| c) \(5i\) | f) \(10i\) |
Karmaşık Sayı
a ve b birer gerçek sayı ve \(i^2 = -1\) olmak üzere, \(z = a + bi\) biçimindeki sayılara karmaşık sayı denir.
\(z = a + bi\) karmaşık sayısında \(a\)’ya reel kısım denir ve \(\text{Re}(z) = a\) şeklinde gösterilir.
\(b\)’ye sanal (imajiner) kısım denir ve \(\text{Im}(z) = b\) şeklinde gösterilir.
Karmaşık sayılar kümesi \(C\) harfi ile gösterilir:
\(\mathbb{C} = \{z \mid z = a + bi, a, b \in \mathbb{R} \text{ ve } i = \sqrt{-1}\}\)
Örnek 2
\(z = (2x – 6) + 7i\), \(w = 8 – (9 – x)i\) karmaşık sayıları veriliyor.
\(\text{Re}(z) + \text{Im}(w) = 12\) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
Çözüm
| \(\text{Re}(z) = 2x – 6\) |
| \(\text{Im}(w) = -(9 – x)\) |
\(\text{Re}(z) + \text{Im}(w) = 12 \implies 2x – 6 – 9 + x = 12\)
\(x = 9\)
i Sanal Birimin Kuvvetleri
\(i^1 = i\)
\(i^2 = -1\)
\(i^3 = -i\)
\(i^4 = 1\)
\(i\)’nin kuvvetleri her 4 seferde bir tekrarlandığı için periyot 4’tür.
\(n \in \mathbb{Z}\) olmak üzere:
- \(i^{4n} = 1\)
- \(i^{4n+1} = i\)
- \(i^{4n+2} = -1\)
- \(i^{4n+3} = -i\)
Örnek
| \(i^{29} = i^{4 \cdot 7 + 1} = i^1 = i\) |
| \(i^{147} = i^{4 \cdot 36 + 3} = i^3 = -i\) |
| \(i^{2024} = i^{4 \cdot 506} = i^0 = 1\) |
Örnek
\(z = i^1 + i^2 + i^3 + i^4 + \ldots + i^{57} + i^{58}\)
Karmaşık sayısının eşiti nedir?
Çözüm
\(i\)’nin kuvvetleri ardışık olan her 4’lünün toplamı sıfırdır.
Dolayısıyla:
| \(z = i^1 + i^2 + i^3 + i^4 + \ldots + i^{56} + i^{57} + i^{58}\) |
| \(z = 0 + i – 1\) |
| \(z = i – 1\) |
Not
\((1 + i)^2 = 2i\) ve \((1 – i)^2 = -2i\)
Karmaşık Sayının Eşleniği
a ve b gerçek sayı olmak üzere, \(a + bi\) karmaşık sayısının eşleniği \(a – bi\) karmaşık sayısıdır.
z karmaşık sayısının eşleniği \(\overline{z}\) ile gösterilir:
\(z = a + bi\) ise \(\overline{z} = a – bi\)’dir.
Örnek
Aşağıdaki karmaşık sayıların eşleniklerini bulunuz.
| a) \(z_1 = 8 + 15i\) | d) \(z_4 = 20\) |
| b) \(z_2 = -12i – 12\) | e) \(z_5 = \sqrt{3} – \sqrt{5} \cdot i\) |
| c) \(z_3 = -9i\) | f) \(z_6 = \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{-8} \cdot \sqrt{-4} \cdot \sqrt{2} \cdot i\) |
Çözüm
| a) \(\overline{z_1} = 8 – 15i\) | d) \(\overline{z_4} = 20\) |
| b) \(\overline{z_2} = -12 – 12i\) | e) \(\overline{z_5} = \sqrt{3} + \sqrt{5} \cdot i\) |
| c) \(\overline{z_3} = 9i\) | f) \(\overline{z_6} = 4 + 8i\) |
Not
Karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir:
\(\overline{\overline{z}} = z\)
İkinci dereceden denklemler konu anlatımı