Permütasyon kombinasyon konu anlatımı
Sayma Yöntemleri
Toplama Yoluyla Sayma: Ayrık iki işlemden birincisi \(a\) farklı şekilde, ikincisi \(b\) farklı şekilde gerçekleşiyorsa bu işlemlerin birincisi veya ikincisi \(a + b\) farklı şekilde gerçekleşir.
Örnek 1
Bir fotoğrafta 5 kişi ayakta duruyor ve 4 kişi oturuyorsa toplam kaç kişi vardır?
Çözüm
| \(5 + 4 = 9\) kişi |
Örnek 2
Bir vazoda 5 adet karanfil, 7 adet gül ve 13 adet lale vardır.
Bu çiçeklerden 1 tane almak isteyen kişi kaç farklı biçimde seçebilir?
Çözüm
| \(5 + 7 + 13 = 25\) |
Çarpma Yoluyla Sayma: Ayrık iki işlemden birincisi \(a\) farklı şekilde, ikincisi \(b\) farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa bu işlemlerin birincisi ve ikincisi \(a \cdot b\) farklı şekilde gerçekleşir.
Örnek 3
4 kız ve 5 erkek arasından 1 kız ve 1 erkek kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm
| \(4 \cdot 5 = 20\) |
Örnek
Bir sinema salonunda 20 sıra ve her sırada 15 koltuk olduğuna göre, bu salonda kaç tane koltuk vardır?
Çözüm
| \(20 \cdot 15 = 300\) tane koltuk |
Örnek
A = \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı:
- Kaç sayı yazılır?
- Kaç çift sayı yazılır?
- Kaç tek sayı yazılır?
- 5’in katı olan kaç sayı yazılır?
- 200’den büyük, 500’den küçük kaç sayı yazılır?
Çözüm
| a) \(5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\) tane |
| b) \(5 \cdot 5 \cdot 2 = 50\) tane (\(2, 4\) rakamları çift) |
| c) \(5 \cdot 5 \cdot 3 = 75\) tane (\(1, 3, 5\) rakamları tek) |
| d) \(5 \cdot 5 \cdot 1 = 25\) tane (\(5\) rakamı ile bitenler) |
| e) \(3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\) tane (\(2, 3, 4\) rakamları yüzler basamağında) |
Permütasyon
\(n, r\) birer doğal sayı ve \(n \geq r\) olmak üzere, \(n\) tane elemanın \(r\)’li sıralamasına \(n\)’nin \(r\)’li permütasyonu denir.
\(P(n, r)\) şu şekilde gösterilir:
- \(P(n, r) = \frac{n!}{(n – r)!}\)
- \(P(n, n) = n!\)
- \(P(n, 0) = 1\)
• Dizilişlerde, sıralamanın önemli olduğu seçimlerde permütasyon kullanılır.
• Permütasyon soruları saymanın temel ilkesi yöntemiyle çözülebilir.
Örnek 1
\(P(4, 2) + P(5, 3)\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm
| \(P(4, 2) = 4 \cdot 3 = 12\) |
| \(P(5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\) |
| \(12 + 60 = 72\) |
Örnek 2
\(P(n, 2) = 5 \cdot P(n, 1)\) olduğuna göre, \(n\) kaçtır?
Çözüm
| \(n(n – 1) = 5n\) |
| \(n – 1 = 5 \implies n = 6\) |
Örnek 3
\(P(n, 3) = 10 + 5 \cdot P(2n, 1)\) olduğuna göre, \(n\) kaçtır?
Çözüm
| \(n(n – 1)(n – 2) = 10 + 5 \cdot 2n\) |
| \(n = 5\) |
Örnek 4
Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile fotoğraf çekecektir.
- Kaç farklı şekilde fotoğraf çekilebilirler?
- Anne ve baba yan yana olacak şekilde kaç farklı fotoğraf çekilebilirler?
- Anne ve baba arasında en büyük çocuk olacak şekilde kaç farklı fotoğraf çekilebilirler?
- Bütün çocuklar bir arada olacak şekilde kaç farklı fotoğraf çekilebilirler?
Çözüm
| a) Toplam 6 kişi 6! farklı şekilde fotoğraf çekilebilir. |
|
b) Anne ve baba yan yana olduğundan tek kişi gibi sayalım: \(AB + 4Ç = 5\) kişi \(5! \cdot 2! = 240\) (2!: Anne ve babanın yer değiştirmesi) |
|
c) Anne ve baba arasında en büyük çocuk olacak: \(A \cdot Ç_B \cdot B + 3Ç = 4\) kişi \(4! \cdot 2! = 48\) |
|
d) Bütün çocuklar bir arada olacak: \(4Ç + A + B = 3\) kişi bir grup gibi: \(3! \cdot 4! = 144\) |
Örnek
3 evli çift yan yana sıralanacaktır.
Buna göre, evli çiftlerin yan yana olduğu kaç farklı sıralama vardır?
Çözüm
Çiftleri birer kişi gibi düşünelim. Bu durumda 3 kişi olur ve \(3!\) şekilde sıralanır.
Her bir çift kendi arasında \(2\) farklı şekilde sıralanır. O hâlde:
| \(3! \cdot 2^3 = 6 \cdot 8 = 48\) farklı sıralama |
Tekrarlı Permütasyon
\(n\) tane elemanın \(r_1\) tanesi aynı, \(r_2\) tanesi aynı, … \(r_k\) tanesi aynı olsun. \(r_1 + r_2 + … + r_k = n\) olmak üzere bu elemanların farklı sıralanışlarının sayısı:
\[ \frac{n!}{r_1! \cdot r_2! \cdot … \cdot r_k!} \]
Örneğin, “ANA” kelimesinin harflerini yer değiştirerek oluşturulan 3 harfli kelime sayısı:
- ANA – NAA – AAN olmak üzere 3 tanedir.
Kelime sayısı: \(\frac{3!}{2!} = 3\)
Örnek 1
2 mavi, 3 yeşil özdeş boncuk kaç farklı şekilde dizilir?
Çözüm
| \(\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10\) tane |
Örnek 2
“KARAMAR” kelimesinin harfleri yer değiştirilerek 7 harfli anlamlı ya da anlamsız:
- Kaç farklı kelime yazılabilir?
- A ile başlayıp A ile biten kaç farklı kelime yazılabilir?
- Orta harfi M olan kaç farklı kelime yazılabilir?
- R’den hemen sonra A harfinin geldiği kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm
| a) \( \frac{7!}{3! \cdot 2!} = 420\) farklı kelime yazılabilir. |
| b) İki tane A kullanıldığından: \(\frac{5!}{2!} = 60\) |
| c) M ortada: \(\frac{6!}{2!} = 360\) |
| d) R ve A’yı bir grup düşünürsek: \(5! \cdot 2 = 240\) |
Kombinasyon
\(n\) ve \(r\) doğal sayılar ve \(r \leq n\) olmak üzere, \(n\) farklı elemanın \(r\) elemanlı alt kümelerinin sayısına \(n\)’nin \(r\)’li kombinasyonu denir.
\(C(n, r)\) veya \(\binom{n}{r}\) ile gösterilir:
\[ C(n, r) = \frac{n!}{(n – r)! \cdot r!} = \frac{P(n, r)}{r!} \]
Örnek 1
\(C(5, 2) + C(4, 3)\) toplamı kaçtır?
Çözüm
| \(C(5, 2) = \frac{5!}{(5 – 2)! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2!} = 10\) |
| \(C(4, 3) = \frac{4!}{(4 – 3)! \cdot 3!} = \frac{4}{1} = 4\) |
| Sonuç: \(10 + 4 = 14\) |
Örnek 2
\(C(n, n-1) + C(n, 0) = 6\) eşitliğini sağlayan \(n\) kaçtır?
Çözüm
| \(C(n, n-1) = \frac{n!}{(n – (n – 1))! \cdot (n – 1)!} = \frac{n!}{1 \cdot (n – 1)!} = n\) |
| \(C(n, 0) = \frac{n!}{(n – 0)! \cdot 0!} = 1\) |
| \(n + 1 = 6 \implies n = 5\) |
Not
- \(\binom{n}{n} = \binom{n}{0} = 1\)
- \(\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n\)
Örnek
\(\binom{n}{0} + \binom{n}{1} = 8\) eşitliğini sağlayan \(n\) kaçtır?
Çözüm
| \(\binom{n}{0} = 1\) |
| \(\binom{n}{1} = n\) |
| \(1 + n = 8 \implies n = 7\) |
Örnek 2
\(\binom{6}{5} + \binom{15}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{0} = \binom{9}{2}\) olduğuna göre, \(n\) kaçtır?
Çözüm
| \(\binom{6}{5} = 6\), \(\binom{15}{0} = 1\), \(\binom{n}{1} = n\), \(\binom{n}{0} = 1\) |
| \(\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2!} = 36\) |
| \(6 + 1 + n + 1 = 36 \implies n = 28\) |
Örnek 3
\(\binom{15}{2} + \binom{n}{n-1} = 2 \cdot \binom{n}{1} + \binom{n}{0}\) eşitliğini sağlayan \(n\) kaçtır?
Çözüm
| \(\binom{15}{14} = 15\) |
| \(\binom{n-1}{1} = n-1\), \(\binom{n}{1} = n\), \(\binom{n}{0} = 1\) |
| \(15 + (n-1) = 2n + 1\) |
| \(15 – 1 = 2n – n \implies n = 14\) |
Not
\(\binom{n}{r} = \binom{n}{k}\) eşitliğinde \(r = k\) veya \(n = r + k’\)dir.
Not
\[ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n \]
\[ \binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1} \]
Örnek
\(\binom{10}{0} + \binom{10}{1} + \dots + \binom{10}{10} = 2^x\) olduğuna göre, \(x\) kaçtır?
Çözüm
\(2^{10} = 2^x \implies x = 10\)
Not
\(n\) elemanlı bir kümenin \(r\) elemanlı alt kümelerinin sayısı \(\binom{n}{r}\)’dir.
Örnek
6 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözüm
\[ \binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \]
Örnek
4 doktor ve 3 hemşire arasından 3 kişilik ekip oluşturulacaktır. Buna göre:
- Kaç farklı ekip oluşturulabilir?
- 1 doktor, 2 hemşireden oluşan kaç farklı ekip oluşturulabilir?
- Ekipte en az 1 hemşirenin olduğu kaç farklı ekip oluşturulabilir?
Çözüm
| a) \(\binom{7}{3} = 35\) |
| b) \(\binom{4}{1} \cdot \binom{3}{2} = 12\) |
| c) \(\binom{7}{3} – \binom{4}{3} = 35 – 4 = 31\) |
Not
Noktalar ile Doğru, Üçgen ve Çokgen Oluşturma:
- Herhangi üçü doğrusal olmayan \(n\) farklı nokta ile:
- \(\binom{n}{2}\) tane farklı doğru oluşturulabilir.
- \(\binom{n}{3}\) tane farklı üçgen oluşturulabilir.
- \(\binom{n}{4}\) tane farklı dörtgen oluşturulabilir.
Örnek 1
Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 nokta ile en fazla kaç tane doğru oluşturulabilir?
Çözüm
| \(\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15\) |
Örnek 2
Herhangi üçü doğrusal olmayan 8 farklı nokta ile kaç farklı üçgen çizilir?
Çözüm
| \(\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56\) |
Permütasyon kombinasyon konu anlatımı