Olasılık
Örnek Uzay
Bir deney sonucunda oluşabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve \(E\) ile gösterilir.
- Bir madeni para atılması deneyinde örnek uzay \(E = \{T, Y\}\) ve \(s(E) = 2^1 = 2\) olur.
- İki madeni paranın atılması deneyinde örnek uzay \(E = \{YT, TY, YY, TT\}\) ve \(s(E) = 2^2 = 4\) olur.
- \(n\) tane madeni paranın birlikte atılması deneyi ile bir madeni paranın \(n\) defa atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır ve \(s(E) = 2^n\)’dir.
- Aynı şekilde \(n\) tane zarın birlikte atılması deneyi ile bir zarın \(n\) defa atılması deneyinin örnek uzayı aynıdır ve \(s(E) = 6^n\)’dir.
Olay
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.
Örnek
Üç madeni paranın birlikte rastgele atılmasının örnek uzayının eleman sayısı ile en az 2 tura gelme olayının eleman sayısı kaçtır?
Çözüm
Üç madeni para atılmasının örnek uzayı \(2^3 = 8\) elemanlıdır.
İstenen durum \(A\) olayı olsun. O hâlde:
\(A = \{TTY, TYT, YTT, TTT\}\)
\(s(A) = 4\)’tür.
Örnek
Bir zar ve iki madeni paranın birlikte atılması deneyinde:
- a) Örnek uzayın eleman sayısı kaçtır?
- b) Zarın asal ve paraların en çok bir yazı gelmesi olayının eleman sayısı kaçtır?
Çözüm
a) Zarın 6 durumu, iki madeni paranın \(2^2 = 4\) durumu vardır. \(s(E) = 4 \cdot 6 = 24\).
b) Asal sayılar \(\{2, 3, 5\}\).
En çok bir yazı: \(\{YT, TY, TT\}\).
\(s(A) = 3 \cdot 3 = 9\).
Not
- Olayın eleman sayısı 0 ise imkansız olaydır.
- Olayın eleman sayısı örnek uzayın eleman sayısına eşitse kesin olaydır.
- Aynı örnek uzaya ait farklı iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir:
- A ile B ayrık olaylar ise \(A \cap B = \emptyset\).
- A ile B ayrık olaylar değilse \(A \cap B \neq \emptyset\).
- Bir \(A\) olayının çıktılarının dışındaki örnek uzayın tüm çıktılarının içerdiği olaya A olayının tümleyeni denir ve \(A’\) ile gösterilir:
- \(A \cup A’ = E\) ve \(s(A) + s(A’) = s(E)\).
Örnek
Bir zar atılması deneyinde:
- 5’ten küçük gelme olayı ile 5’ten büyük gelme olayı ayrık mıdır?
- Asal sayı gelme olayı ile çift sayı gelme olayı ayrık mıdır?
Çözüm
a) 5’ten küçük gelme olayı \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) ve 5’ten büyük gelme olayı \(B = \{6\}\).
\(A \cap B = \emptyset\) olduğundan ayrık olaylardır.
b) Asal sayı gelme olayı \(C = \{2, 3, 5\}\) ve çift sayı gelme olayı \(D = \{2, 4, 6\}\).
\(C \cap D = \{2\}\) olduğundan ayrık değildir.
Olasılık Fonksiyonu
\(E\) örnek uzayının tüm alt kümelerinin oluşturduğu küme \(K\) olsun.
\(P : K \to [0, 1]\) şeklinde tanımlanan \(P\) fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir.
\(P(A)\) gerçek sayısına \(A\) olayının olasılığı denir.
Özellikler
- Her \(A \subset K\) için \(0 \leq P(A) \leq 1\) dir. (Olasılık daima [0, 1] aralığındadır.)
- \(P(E) = 1\) ve \(P(\emptyset) = 0\)
- A olayının gerçekleşmeme olasılığı: \(P(A’) = 1 – P(A)\)
- A veya B’nin gerçekleşme olasılığı: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
- A ile B ayrık olaylar ise \(A \cap B = \emptyset\), dolayısıyla \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) dir.
Not
Örnek uzay elemanlarının olasılıkları toplamı daima 1’dir.
Örnek 1
\(E = \{e_1, e_2, e_3\}\), \(P(e_1) = \frac{1}{3}\), \(P(e_2) = \frac{1}{4}\) olduğuna göre, \(P(e_3)\) kaçtır?
Çözüm
\(P(e_1) + P(e_2) + P(e_3) = 1\)
\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + P(e_3) = 1 \implies P(e_3) = \frac{5}{12}\) olur.
Örnek 2
Bir örnek uzayın \(a, b, c\) gibi üç ayrık olayı vardır. \(P(a \cup b) = \frac{3}{5}\), \(P(b \cup c) = \frac{7}{10}\) olduğuna göre, \(P(b)\)’nin değeri kaçtır?
Çözüm
\(P(a) + P(b) + P(c) = 1\)
\(P(a) + P(b) = \frac{3}{5}\)
\(P(c) = 1 – \frac{3}{5} = \frac{2}{5}\)
\(P(b) + P(c) = \frac{7}{10}\)
\(P(b) = \frac{7}{10} – \frac{2}{5} = \frac{3}{10}\)
Eş Olumlu Örnek Uzay
\(E = \{e_1, e_2, e_3, \dots, e_n\}\) sonlu örnek uzay olmak üzere, \(P(e_1) = P(e_2) = P(e_3) = \dots = P(e_n)\) oluyorsa \(E\) örnek uzayına eş olumlu örnek uzay denir.
- Eş olumlu örnek uzayda bir \(A\) olayının olasılığı: \[ P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} \] Burada \(s(A)\): İstenen durum sayısı, \(s(E)\): Tüm durum sayısı.
- Bir zarın atılması deneyinde \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) örnek uzayı eş olumludur. \(P(1) = P(2) = \dots = P(6) = \frac{1}{6}\).
Örnek
Hilesiz bir zar düz bir zemine atılıyor.
Buna göre, üst yüze gelen sayının:
- a) En çok 2 olma olasılığı kaçtır?
- b) En az 5 olma olasılığı kaçtır?
- c) Asal veya çift sayı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Örnek uzayın eleman sayısı \(s(E) = 6\)’dır.
| Soru | Durum | Olasılık Hesabı | Sonuç |
|---|---|---|---|
| a) En çok 2 | \(A = \{1, 2\}\) | \(P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| b) En az 5 | \(B = \{5, 6\}\) | \(P(B) = \frac{s(B)}{s(E)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{3}\) |
| c) Asal veya çift | \(C = \{2, 3, 4, 5, 6\}\) | \(P(C) = \frac{s(C)}{s(E)} = \frac{5}{6}\) | \(\frac{5}{6}\) |
Örnek
Bir torbada aynı büyüklükte 2 mor, 3 sarı ve 4 yeşil top vardır. Torbadan aynı anda 3 top seçiliyor.
Bu toplardan:
- a) Üçünün de farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
- b) İkisinin mor, birisinin yeşil olma olasılığı kaçtır?
- c) Sadece birinin sarı olma olasılığı kaçtır?
Çözüm
Örnek uzayın eleman sayısı:
\[ s(E) = \binom{9}{3} = 84 \]
| Soru | Durum | Olasılık Hesabı | Sonuç |
|---|---|---|---|
| a) Üçü farklı renkte | \[ \binom{2}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} \] | \[ P(A) = \frac{\binom{2}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1}}{\binom{9}{3}} = \frac{2}{7} \] | \(\frac{2}{7}\) |
| b) İkisi mor, biri yeşil | \[ \binom{2}{2} \cdot \binom{4}{1} \] | \[ P(B) = \frac{\binom{2}{2} \cdot \binom{4}{1}}{\binom{9}{3}} = \frac{1}{21} \] | \(\frac{1}{21}\) |
| c) Sadece biri sarı | \[ \binom{3}{1} \cdot \binom{6}{2} \] | \[ P(C) = \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{6}{2}}{\binom{9}{3}} = \frac{15}{28} \] | \(\frac{15}{28}\) |
Bağımsız Olaylar
A ve B olaylarının gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi birbirini etkilemiyorsa (birbirine bağımlı değilse) bağımsız olaylardır.
Eğer A ve B bağımsız iki olay ise A ve B’nin gerçekleşme olasılığı:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
Örnek
Bir zar ve bir madeni para birlikte atılıyor.
Paranın yazı, zarın 3’ten büyük gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
Paranın yazı gelme olayı \(A\) olsun. \(P(A) = \frac{1}{2}\) olur.
Zarın 3’ten büyük gelme olayı \(B\) olsun:
\[ B = \{4, 5, 6\} \quad \text{yani} \quad P(B) = \frac{1}{2} \]
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Örnek
Bir zar ve iki madeni para birlikte atılıyor.
Zarın asal sayı veya madeni paraların farklı gelme olasılığı kaçtır?
Çözüm
Zarın asal gelme olayı \(A\) olsun:
\[ A = \{2, 3, 5\} \quad P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Madeni paraların farklı gelme olayı \(B\) olsun:
\[ B = \{\text{TY, YT}\} \quad P(B) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]