Üstel Fonksiyon 2

$\subsection*{Üstel Fonksiyonun Grafiği} \\ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = a^x \text{ fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.} \\$

$\subsection*{NOT:} \text{1. } $a > 1$ \text{ için } f(x) = a^x \text{ fonksiyonu artandır.} \\ \\ \text{2. } 0 < a < 1 \text{ için } f(x) = a^x \text{ fonksiyonu azalandır.} \\ \\ \text{3. } f(x) = a^x \text{ şeklindeki tüm üstel fonksiyonların grafikleri } (0,1) \text{ noktasından geçer.} \\ \\ \text{4. } (0,1) \text{ noktasından geçmeyen fonksiyonlar genellikle } f(x) = b \cdot a^{x} \text{ biçimindedir.}$

$\subsection*{Örnek 1:} \\ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = 2^x \text{ fonksiyonunun grafiğini çizelim. Artan fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.}$

$\subsection*{Çözüm:} \\ f(x) = 2^x \text{ fonksiyonunda } a = 2 \text{ olduğundan } a > 1 \text{'dir.} \\ \\ \text{Dolayısıyla fonksiyon artandır.} \\ \\ \text{Grafikte } x \text{ değerleri arttıkça } f(x) \text{ değerleri de artar.}$

$\subsection*{Örnek 2:} \\ \\ \text{I. } f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = 3^x \\ \\ \text{II. } g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, g(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x} \\ \\ \text{III. } h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, h(x) = \left( \frac{3}{2} \right)^x \\ \\ \text{Fonksiyonlardan hangileri bire bir ve örtendir?}$

$\subsection*{Çözüm:} \\ \\ \text{I. } f(x) = 3^x \text{ fonksiyonu artandır ve bire bir, örtendir.} \\ \\ \text{II. } g(x) = \left( \frac{1}{2} \right)^{-x} \text{ fonksiyonu da bire bir ve örtendir.} \\ \\ \text{III. } h(x) = \left( \frac{3}{2} \right)^x \text{ fonksiyonu da bire bir ve örtendir.} \\ \\ \text{Dolayısıyla I, II ve III fonksiyonları bire bir ve örtendir.} \\ \\ \text{Bu 3 fonksiyon da üstel fonksiyon tanımına uymaktadır. Üstel fonksiyonlar birebir ve örtendir.}$

$\subsection*{Örnek 3:} \\ \text{Aşağıdaki şekilde grafiği verilen } f(x) = 2^{(bx + a - 1)} \\ \\ \text{fonksiyonuna göre } $f(a\cdot b)$ \text{ ifadesinin değeri kaçtır?}$

$\subsection*{Çözüm:} \\ f(x) = 2^{(bx + a - 1)} \text{ ifadesinde } $a ve b$ \text{'yi bulmak için x yerine -1 ve 0 değerlerini yerine koyalım.} \\ \\ f(-1) = 2 \quad ve \quad f(0) = 1 \\ \\ f(-1) = 2^{-b+a-1} = 2 \quad \Rightarrow -b+a-1 = 1 \\ \\ f(0) = 2^{a-1} = 1 \quad \Rightarrow a-1 = 1 \Rightarrow a = 2 \\ \\ -b+a-1 = 1 \quad \Rightarrow -b+a = 2 \quad \Rightarrow b = 0 \\ \\ f(a\cdot b) = f(2\cdot 0) = f(0) = ? \\ \\ f(0) = 2^{(0.0 + 2 - 1)} = 2^1 = 2 \\ \\ Sonuç olarak; f(a\cdot b) = 2$

Bir yanıt yazın Yanıtı iptal et