Pascal Üçgeni
| \((x + y)^0\) | …………………1…………… | 1. satır |
| \((x + y)^1\) | …………… 1 …….. 1 ………………. | 2. satır |
| \((x + y)^2\) | ………. 1……….2……….1 ………….. | 3. satır |
| \((x + y)^3\) | …… 1 …… 3 ………3 …….. 1 ……… | 4. satır |
| \((x + y)^4\) | .. 1 ….. 4 …….. 6 …….. 4 ……..1 ….. | 5. satır |
- Pascal üçgeni \((x + y)^n\) ifadesinin açılımındaki katsayılarla oluşturulan üçgen şeklindeki bir sayı örüntüsünden oluşmuştur.
- Pascal üçgeninde bir satırda yan yana bulunan iki sayının toplamı alt satırda bu iki sayının arasında bulunan sayıya eşittir.
- Pascal üçgeninde satırlardaki katsayıların toplamı alt küme sayısını vermektedir.
Örnek
4. satırdaki 1, 3, 3, 1 sayıları kombinasyonların değerlerine karşılık gelmektedir:
\(\binom{3}{0}, \binom{3}{1}, \binom{3}{2}, \binom{3}{3}\)
Bu sebeple yukarıdaki Pascal üçgenini şu şekilde de gösterebiliriz:
\(\binom{0}{0}\)
\(\binom{1}{0}\)\(\binom{1}{1}\)
\(\binom{2}{0}\)\(\binom{2}{1}\)\(\binom{2}{2}\)
\(\binom{3}{0}\)\(\binom{3}{1}\)\(\binom{3}{2}\)\(\binom{3}{3}\)
\(\binom{4}{0}\) \(\binom{4}{1}\) \(\binom{4}{2}\) \(\binom{4}{3}\) \(\binom{4}{4}\)
\(\binom{3}{1} + \binom{3}{2} = \binom{4}{2}\) eşitliğinden:
\(\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}\)
Sonucunu çıkarıp kombinasyonda kullandığımız eşitliğe ulaşabiliriz.
Binom Açılımı
\[ (x + y)^n = \binom{n}{0} x^n y^0 + \binom{n}{1} x^{n-1} y^1 + \binom{n}{2} x^{n-2} y^2 + \dots + \binom{n}{n} x^0 y^n \]
İfadesinin \(x\)’in azalan kuvvetlerine göre açılımına binom açılımı denir.
Binom Açılımının Özellikleri
- \(x + y \neq 0\) ve \(n \in N\) olmak üzere \((x + y)^n\) açılımında \(n + 1\) tane terim vardır.
- Binom açılımında her terimdeki \(x\) ve \(y\)’nin üsleri toplamı \(n\)’ye eşittir.
- Katsayılar toplamını bulmak için değişkenlerin yerine \(x = 1, y = 1\) yazılır.
- Sabit terimi bulmak için değişkenlerin yerine \(x = 0\) yazılır.
-
\((x + y)^n\) ifadesi \(x\)’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında:
- Baştan \(r + 1\). terim: \(\binom{n}{r} x^{n-r} y^r\)
- Sondan \(r + 1\). terim: \(\binom{n}{n-r} x^r y^{n-r}\)
- \((x + y)^{2n}\) ifadesi \(x\)’in azalan kuvvetlerine göre açıldığında ortadaki terimi: \(\binom{2n}{n} x^n y^n\) olur.
Not
\((x + y + z)^n\) ifadesinin açılımında:
\[ \frac{(n+1) \cdot (n+2)}{2} \] terim vardır.
Örnek
\((2x + 5y)^n\) ifadesinin açılımında 14 terim olduğuna göre, \(n\) kaçtır?
Çözüm
\((2x + 5y)^n\) açılımında \(n + 1\) terim vardır.
\[ n + 1 = 14 \implies n = 13 \]
Örnek
Aşağıdaki ifadelerin açılımlarını yapınız:
- a) \((x + y)^2\)
- b) \((x – y)^3\)
- c) \((x + y)^3\)
- d) \((x + y)^4\)
Çözüm
| a) | \[ \binom{2}{0}x^2y^0 + \binom{2}{1}x^1y^1 + \binom{2}{2}x^0y^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] |
| b) | \[ \binom{3}{0}x^3y^0 – \binom{3}{1}x^2y^1 + \binom{3}{2}x^1y^2 – \binom{3}{3}x^0y^3 = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 \] |
| c) | \[ \binom{3}{0}x^3y^0 + \binom{3}{1}x^2y^1 + \binom{3}{2}x^1y^2 + \binom{3}{3}x^0y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \] |
| d) | \[ \binom{4}{0}x^4y^0 + \binom{4}{1}x^3y^1 + \binom{4}{2}x^2y^2 + \binom{4}{3}x^1y^3 + \binom{4}{4}x^0y^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \] |
Örnek
\((x + 2y)^n\) ifadesinin açılımındaki bir terim \(a \cdot x^6 \cdot y^8\) olduğuna göre, \(n\) kaçtır?
Çözüm
\[ a \cdot x^6 \cdot y^8 \implies 6 + 8 = n = 14 \]
Örnek
\((x^2 + 2y^3)^n\) ifadesinin açılımındaki bir terim \(A \cdot x^{18} \cdot y^{18}\) olduğuna göre, \(n\) kaçtır?
Çözüm
\[ 2a = 18 \implies a = 9, \quad 3b = 18 \implies b = 6 \]
\[ n = a + b = 9 + 6 = 15 \]