Denklemler
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
a, b ∈ ℝ ve a ≠ 0 olmak üzere, ax + b = 0 genel gösterimi ile ifade edilebilen denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
a ile b denklemin katsayılarıdır ve x‘e değişken denir.
ax + b = 0 denkleminde x = \(-\frac{b}{a}\) değerine denklemin kökü denir.
Kökün yazıldığı kümeye denklemin çözüm kümesi denir ve:
Ç = \( -\frac{b}{a} \)
Not
- ax + b = 0 denkleminde:
- a ≠ 0 ise denklemi sağlayan yalnız bir tane x değeri vardır. Ç. K. = \( -\frac{b}{a} \)
- a = 0 ve b = 0 ise denklemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
- a = 0 ve b ≠ 0 ise denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
\( a, b, c \) gerçek sayılar ve \( a \neq 0, b \neq 0 \) olmak üzere, \( ax + by + c = 0 \) denklemine, \( x \) ve \( y \) değişkenlerine bağlı birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemi sağlayan \( (x, y) \) sıralı ikilileri denklemin çözüm kümesini oluşturur.
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemi
\( a, b, c, d, e, f \) gerçek sayılar olmak üzere, \[ \begin{align*} ax + by + c &= 0, \\ dx + ey + f &= 0 \end{align*} \] denklem sistemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Denklem sistemi çözülürken aşağıdaki yöntemler kullanılır:
1. Yok Etme Metodu
Örnek
\[ \begin{align*} 3x – y &= 12, \\ x + 2y &= 11 \end{align*} \]
Yukarıdaki denklem sistemini sağlayan \( (x, y) \) sıralı ikilisi bulunuz.
Çözüm
\(1.\) denklem 2 ile çarpılıp taraf tarafa toplanırsa \(x\) bulunur.
\[ \begin{align*} 6x – 2y &= 24, \\ x + 2y &= 11 \\ \hline 7x &= 35 \implies x = 5 \end{align*} \]\(x = 5\) için:
\[ 3 \cdot 5 – y = 12 \implies y = 3 \]Sonuç olarak \( (x, y) = (5, 3) \) bulunur.
2. Yerine Koyma Metodu
Örnek
Aşağıdaki denklem sistemini sağlayan \( (x, y) \) sıralı ikilisi nedir?
Denklem sistemi: \[ \begin{align*} 2x – y &= 10, \\ x + 2y &= 20 \end{align*} \]
Çözüm
\(1.\) denklemden \(y\) yalnız bırakılır ve \(2.\) denklemde yerine yazılır:
\[ y = 2x – 10 \] \[ x + 2(2x – 10) = 20 \implies 5x = 30 \implies x = 6 \]\(x = 6\) için:
\[ y = 2 \cdot 6 – 10 = 6 \]Sonuç olarak \( (x, y) = (6, 6) \) bulunur.
3. Denklem Sisteminde Çözüm Kümesi Durumları
\( ax + by + c = 0 \) ve \( dx + ey + f = 0 \) denklem sisteminde:
- I. \( \frac{a}{d} \neq \frac{b}{e} \) ise denklemin çözüm kümesi tek elemanlıdır.
- II. \( \frac{a}{d} = \frac{b}{e} \neq \frac{c}{f} \) ise çözüm kümesi boş kümedir.
- III. \( \frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f} \) ise çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Örnek
Aşağıdaki denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, \(a\) değeri kaçtır?
Denklem sistemi: \[ \begin{align*} (2a + 1)x + y + 5 &= 0, \\ (3a – 2)x + 2y + 8 &= 0 \end{align*} \]
Çözüm
Denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğundan:
\[ \frac{2a + 1}{3a – 2} = \frac{1}{2} \neq \frac{5}{8} \]Bu durumda:
\[ 2(2a + 1) = 1 \cdot (3a – 2) \] \[ 4a + 2 = 3a – 2 \implies a = -4 \]Sonuç olarak, \(a = -4\) bulunur.