Çarpanlara Ayırma
Çarpanlara Ayırma
Polinom şeklinde verilen bir ifadenin iki ya da daha fazla polinomun çarpımı şeklinde yazılmasına çarpanlara ayırma denir.
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Soru
Aşağıda verilen ifadeleri ortak çarpan parantezine alma yöntemi ile çarpanlarına ayıralım.
- a) \(3x + 3y + 6\)
- b) \(a^2 – ab\)
- c) \(6x^2 + 3x\)
- d) \(x^2y – xy\)
- e) \(2x^2 + 4x^3 + 6x^4\)
- f) \(4xy + 8x^2y – 12xy^3\)
Çözüm
- a) \(3 \cdot x + 3 \cdot y + 3 \cdot 2\)
\(3(x + y + 2)\) bulunur. - b) \(a \cdot a – a \cdot b\)
\(a(a – b)\) bulunur. - c) \(3 \cdot 2 \cdot x \cdot x + 3 \cdot x\)
\(3x(2x + 1)\) bulunur. - d) \(x \cdot x \cdot y – x \cdot y\)
\(xy(x – 1)\) bulunur. - e) \(2 \cdot x \cdot x + 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x + 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x\)
\(2x^2(1 + 2x + 3x^2)\)
\(= 2x^2(3x^2 + 2x + 1)\) bulunur. - f) \(4xy + 2x \cdot 4xy – 4xy \cdot 3y^2\)
\(4xy(1 + 2x – 3y^2)\) bulunur.
Gruplandırma Yöntemi ile Çarpanlara Ayırma
Verilen ifadenin tüm terimlerinde aynı ortak çarpan bulunmuyorsa ifade gruplandırılarak çarpanlarına ayrılır.
Soru
Aşağıda verilen ifadeleri gruplandırma yöntemiyle çarpanlarına ayıralım.
- a) \( ax + ay + bx + by \)
- b) \( xy + 2y + y^2 + 2x \)
- c) \( (y – x)^2 – 3x + 3y \)
Çözüm
- a) \( a(x + y) + b(x + y)= (x + y)(a + b) \text{ bulunur.} \)
- b) \( xy + 2x + y^2 + 2y = x(y + 2) + y(y + 2) \\ = (y + 2)(x + y) \text{ bulunur.} \)
- c) \( (x – y)^2 = (y – x)^2 \text{ olduğundan } \\ (x – y)(x – y) – 3(x – y) \\ = (x – y)(x – y – 3) \text{ bulunur.} \)
İki Kare Farkı
\[ x^2 – y^2 = (x – y) \cdot (x + y) \]
Soru
Aşağıda verilen ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
- a) \(x^2 – 1\)
- b) \(16 – x^2\)
- c) \(9x^2 – 4\)
- d) \(x^4 – y^4\)
- e) \(9^x – 4^x\)
- f) \(36x^2 – 16y^2\)
- g) \(10^2 – 5^2\)
- h) \(x^2 – 5\)
- k) \(x – 1\)
- l) \(x – y\)
Çözüm
- a) \[ x^2 – 1^2 = (x – 1) \cdot (x + 1) \text{ bulunur.} \]
- b) \[ 16 – x^2 = 4^2 – x^2 = (4 – x) \cdot (4 + x) \text{ bulunur.} \]
- c) \[ 9x^2 – 4 = (3x)^2 – 2^2 = (3x – 2) \cdot (3x + 2) \text{ bulunur.} \]
- d) \[ x^4 – y^4 = (x^2)^2 – (y^2)^2 = (x^2 – y^2) \cdot (x^2 + y^2) \\ = (x – y) \cdot (x + y) \cdot (x^2 + y^2) \text{ bulunur.} \]
- e) \[ 9^x – 4^x = (3^x)^2 – (2^x)^2 = (3^x – 2^x) \cdot (3^x + 2^x) \text{ bulunur.} \]
- f) \[ 36x^2 – 16y^2 = (6x)^2 – (4y)^2 = (6x – 4y) \cdot (6x + 4y) \text{ bulunur.} \]
- g) \[ 10^2 – 5^2 = (10 – 5) \cdot (10 + 5) = 5 \cdot 15 \text{ bulunur.} \]
- h) \[ x^2 – 5 = x^2 – (\sqrt{5})^2 = (x – \sqrt{5}) \cdot (x + \sqrt{5}) \text{ bulunur.} \]
- k) \[ x – 1 = (\sqrt{x})^2 – 1^2 = (\sqrt{x} – 1) \cdot (\sqrt{x} + 1) \text{ bulunur.} \]
- l) \[ x – y = (\sqrt{x})^2 – (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} – \sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) \text{ bulunur.} \]
Tam Kare İfadeler
\(
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\)
\(
x^2 + y^2 = (x + y)^2 – 2xy
\)
\(
(x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2
\)
\(
x^2 + y^2 = (x – y)^2 + 2xy
\)
\(
(x + y)^2 = (x – y)^2 + 4xy
\)
\(
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + xz)
\)
Soru
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yazalım.
- a) \((x + 1)^2\)
- b) \((2x – 1)^2\)
- c) \((x + y^2)^2\)
- d) \(\left(x – \frac{1}{x}\right)^2\)
- e) \(\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2\)
Çözüm
- a) \( (x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1 \)
- b) \( (2x – 1)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot 1 + (1)^2 = 4x^2 – 4x + 1 \)
- c) \( (x + y^2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y^2 + (y^2)^2 = x^2 + 2xy^2 + y^4 \)
- d) \( \left(x – \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 – 2 + \frac{1}{x^2} \)
- e) \( \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2 = \left(\frac{x}{y}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2} \)
ax² + bx + c Üç Terimlisinin Çarpanlarına Ayrılması
1. Eğer \(a = 1\) ise:
\[ x^2 + bx + c = (x + m) \cdot (x + n) \] \[ b = m + n \text{ ve } c = m \cdot n \text{ olmalıdır.} \]
2. Eğer \(a \neq 1\) ise:
\[ ax^2 + bx + c = (px + m) \cdot (qx + n) \] \[ a = p \cdot q, \, c = m \cdot n \text{ ve } p \cdot n + q \cdot m = b \text{ olmalıdır.} \]
Soru
Aşağıda verilen ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
- a) \(x^2 + 7x + 12\)
- b) \(x^2 – x – 30\)
- c) \(x^2 – 6x – 16\)
- d) \(2x^2 – x – 6\)
- e) \(3x^2 – 11x + 6\)
- f) \(6x^2 + 13x + 6\)
Çözüm
- a) \( x^2 + 7x + 12 = (x + 4) \cdot (x + 3) \)
- b) \( x^2 – x – 30 = (x + 5) \cdot (x – 6) \)
- c) \( x^2 – 6x – 16 = (x – 8) \cdot (x + 2) \)
- d) \( 2x^2 – x – 6 = (2x + 3) \cdot (x – 2) \)
- e) \( 3x^2 – 11x + 6 = (3x – 2) \cdot (x – 3) \)
- f) \( 6x^2 + 13x + 6 = (3x + 2) \cdot (2x + 3) \)
İki Terim Toplamının veya Farkının Küpü
\[ (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \] \[ (x – y)^3 = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 \]
Soru
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yazalım.
- a) \((x + y)^3\)
- b) \((x + 2)^3\)
- c) \((2x + y)^3\)
- d) \((x – 3y)^3\)
Çözüm
- a) \( (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 \)
- b) \( (x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3 \) \( = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)
- c) \( (2x + y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2 \cdot y + 3(2x) \cdot y^2 + y^3 \) \( = 8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3 \)
- d) \( (x – 3y)^3 = x^3 – 3x^2 \cdot (3y) + 3x \cdot (3y)^2 – (3y)^3 \) \( = x^3 – 9x^2y + 27xy^2 – 27y^3 \)
Küpler Toplamı – Küpler Farkı
\[ x^3 + y^3 = (x + y) \cdot (x^2 – xy + y^2) \] \[ x^3 + y^3 = (x + y)^3 – 3xy(x + y) \] \[ x^3 – y^3 = (x – y) \cdot (x^2 + xy + y^2) \] \[ x^3 – y^3 = (x – y)^3 + 3xy(x – y) \]
Soru
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yapalım.
- a) \(x^3 – 27\)
- b) \(8x^3 + 1\)
- c) \(64x^3 – 27\)
- d) \(x + 1\)
Çözüm
- a) \( x^3 – 27 = x^3 – 3^3 = (x – 3) \cdot (x^2 + 3x + 9) \)
- b) \( 8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3 \) \( = (2x + 1) \cdot [(2x)^2 – 2x \cdot 1 + 1^2] \) \( = (2x + 1) \cdot (4x^2 – 2x + 1) \)
- c) \( 64x^3 – 27 = (4x)^3 – 3^3 \) \( = (4x – 3) \cdot [(4x)^2 + 4x \cdot 3 + 3^2] \) \( = (4x – 3) \cdot (16x^2 + 12x + 9) \)
- d) \( x + 1 = \left(\sqrt[3]{x}\right)^3 + 1^3 \) \( = \left(\sqrt[3]{x} + 1\right) \cdot \left(\sqrt[3]{x^2} – \sqrt[3]{x} + 1\right) \)
Çarpanlara Ayırma