Çelişki Yöntemi ile Kök 2'nin İrrasyonel Olduğunun İspatı

$$ \sqrt{2} $'nin rasyonel olduğunu kabul ederek başlayalım. Çelişki ile ispat yöntemini kullanacağımız için işlemlerimizin sonunda kabul ettiğimiz durumla çelişirsek $ \sqrt{2} $'nin irrasyonel olduğunu ispatlamış olacağız. $ \sqrt{2} $'nin rasyonel bir sayı olduğunu kabul ederek başlıyoruz. Yani, $ \sqrt{2} = \frac{a}{b} $ şeklinde bir rasyonel gösterime sahip olmalı, burada kritik olan nokta $ a $ ve $ b $ sayılarının tam sayı olması ve $ \frac{a}{b} $ sadeleştirilemeyecek şekilde verilmiş olmasıdır. (yani $ a $ ve $ b $ aralarında asaldır).$

$$ \sqrt{2} $ = $ \frac{a}{b} $ \quad her iki tarafın karesini alırsak \quad 2 = $ \frac{a^2}{b^2} $ \quad \Rightarrow \quad $ a^2 = 2b^2 $ olur. Bu durumda $ a^2 $ çift sayıdır.$

$$ a^2 $ çift olduğuna göre, $ a^2 $, 2'nin bir katıdır. Dolayısıyla, a da çift olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olur). O halde, a = 2c diyebiliriz. (burada c bir tam sayıdır)$

$$ a $ yerine $ 2c $ yazabiliriz. $ (2c)^2 = 2b^2 $ \quad her iki tarafın karesini alırsak \quad $ 4c^2 = 2b^2 $ \quad \Rightarrow \quad $ 2c^2 = b^2 $ olur. Böylece $ b^2 $ 'nin çift sayı olduğunu söyleyebiliriz. $ b^2 $ çift olduğuna göre $ b $ de çift sayıdır. Böylece $ b=2d $ diyebiliriz. Burada $ d $ bir tam sayıdır.$

$$ a $ ve $ b $'nin çift olduğunu bulduk, $ \sqrt{2} $ = $ \frac{a}{b} $ = $ \frac{2c}{2d} $ eşitliğini elde ettik. $ a $ ve $ b $'nin aralarında asal olduğunu söylemiştik yani sadeleşemeyeceklerini söylemiştik ancak $ \frac{a}{b} $ = $ \frac{2c}{2d} $ ifadesinden anlaşılacağı gibi $ a $ ve $ b $ sadeleşebiliyor. Bu durumda ispatın başındaki kabulümüzle çelişmiş oluyoruz.$

$$ \sqrt{2} $'nin rasyonel olduğu varsayımımız yanlıştır. Dolayısıyla, $ \sqrt{2} $ irrasyoneldir.$

Çelişki Yöntemi ile Kök 2’nin İrrasyonel Olduğunun İspatı

Bir yanıt yazın Yanıtı iptal et

Hesap Makinesi

What do you like about this page?