EBOB EKOK Konu Özeti

Asal Çarpanlara Ayırma

Bir doğal sayıyı tam olarak bölebilen asal sayılara, bu sayının asal çarpanları denir.

Örneğin: 24 sayısının bölenleri:

Asal çarpanları: 2 ve 3 tür.

Bir Sayının Asal Çarpanlarına Ayrılması

x, y, z pozitif tam sayılar ve a, b, c birbirinden farklı asal sayılar olmak üzere A doğal sayısı,

şeklinde yazılabiliyorsa, a, b, c sayılarına A sayısının asal çarpanları denir.

Bir Doğal Sayının Tam Bölenleri

a, b, c asal sayılar; x, y, z sayma sayılarıdır.

• Pozitif bölenlerinin sayısı: (x + 1) · (y + 1) · (z + 1)
• Negatif bölenlerinin sayısı: (x + 1) · (y + 1) · (z + 1)
• Tam bölenlerinin sayısı: 2 · (x + 1) · (y + 1) · (z + 1)
• Asal bölenleri: a, b, c
• Asal bölenlerinin toplamı: a + b + c
• Asal olmayan bölenlerinin toplamı: –(a + b + c)
• Tam bölenlerin toplamı: “0”
• Asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısı: Pozitif bölenlerin sayısı – Asal bölenlerin sayısı

EBOB

En az biri sıfırdan farklı olan iki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir. Kısaca EBOB şeklinde gösterilir.

EBOB Bulma

12 ile 18 sayılarının EBOB’unu bulalım:

1. Tablo ile:

Sayılar birlikte asal çarpanlarına ayrılır. Sadece ortak bölenler çarpılır.

EBOB(18, 12) = 2 · 3 = 6

2. Asal Çarpanlarına Ayırma ile:

Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımı EBOB’u verir.

EKOK

İki veya daha fazla tam sayının pozitif ortak katlarının en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı denir ve EKOK ile gösterilir.

EKOK Bulma

20 ile 36 sayılarının EKOK’unu bulalım:

1. Tablo ile:

Sayılar birlikte asal çarpanlarına ayrılır. Çıkan tüm bölenlerin çarpımı EKOK’u verir.

EKOK(20, 36) = 2² · 3² · 5¹ = 180

2. Asal Çarpanlarına Ayırma ile:

Verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan üsleri en büyük olanlar, ortak olmayanların çarpımı EKOK’u verir.

EBOB – EKOK’un Özellikleri

• 1. \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayılar olmak üzere,
  
  a · b = Ebob(a, b) · Ekok(a, b)


• 2. \( a < b \) olmak üzere,
  
  Ebob(a, b) ≤ a < b ≤ Ekok(a, b)


• 3. \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayıları aralarında asal ise,
  
  Ebob(a, b) = 1
  
  Ekok(a, b) = a · b


• 4. Ekok(\(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\)) = \(\frac{Ekok(a, c)}{Ebob(b, d)}\)


• 5. Ebob(\(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\)) = \(\frac{Ebob(a · d, b · c)}{Ekok(b, d)}\)