Köklü Sayılar Konu Anlatımı

Köklü İfadeler

n. 1’den büyük tam sayı olmak üzere, \( \sqrt[n]{x} \) sayısına x sayısının n. dereceden kökü denir.

• n tek sayı ise \( \sqrt[n]{x} \) ifadesi her x gerçel sayısı için tanımlıdır.
  Örnek: \( \sqrt[3]{3.5} \) ve \( \sqrt[7]{-1} \) gibi.
• n çift sayı ise \( x \geq 0 \) olmalıdır.
  Örnek: \( \sqrt[4]{5} \), \( \sqrt[6]{\frac{4}{3}} \) gibi.
• \( x < 0 \) ise \( \sqrt[n]{x} \) ifadesi gerçel sayı değildir.
• \( \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| \)
• \( \sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x \)

Kökün Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi

k pozitif reel sayı olmak üzere:

• \( \sqrt[n]{\frac{m}{x}} = k \cdot \sqrt[n]{x} \cdot k \cdot m \)
• \( \sqrt[n]{x^m} = \sqrt[\frac{n}{k}]{x^{\frac{m}{k}}} \)

Rasyonel Üs

Not: \( \sqrt[n]{x^a} = x^{\frac{a}{n}} \) ( \( x > 0 \), \( n > 1 \), \( n \in \mathbb{N} \) )

• \( \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}} \)
• \( \sqrt[2]{x+1} = (x+1)^{\frac{1}{2}} \)
• \( \sqrt[5]{2^2} = 2^{\frac{2}{5}} \)

Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Kök dereceleri aynı ve kök içindeki sayılar eşitse toplama veya çıkarma yapılabilir.

\( a \cdot \sqrt[n]{x} + b \cdot \sqrt[n]{x} – c \cdot \sqrt[n]{x} = (a + b – c) \cdot \sqrt[n]{x} \)

• \( \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} \neq \sqrt[n]{a+b} \)
• \( \sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b \)

Köklü Sayılarda Çarpma – Bölme

Köklü ifadelerde çarpma veya bölme işlemi yapılabilmesi için kök derecelerinin aynı olması gerekir.

• \( \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y} \)
• \( \frac{\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}} = \sqrt[n]{\frac{x \cdot y}{z}} \quad (z \neq 0) \)

Eşlenik ve Paydayı Rasyonel Yapma

• Paydada \( \sqrt{x} \) varsa pay ile payda \( \sqrt{x} \) ile çarpılır.

\( \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x \)

• Paydada \( \sqrt[n]{x^m} \) varsa pay ile payda \( \sqrt[n]{x^{n-m}} \) ile çarpılır.

\( \sqrt[n]{x^m} \cdot \sqrt[n]{x^{n-m}} = x \)

• \( (\sqrt{x} – \sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x – y \) olduğundan
• \( \sqrt{x} – \sqrt{y} \)’nin eşleniği \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \)
• \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \)’nin eşleniği \( \sqrt{x} – \sqrt{y} \)
• \( \frac{a}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \frac{a \cdot (\sqrt{x} – \sqrt{y})}{(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x} – \sqrt{y})} = \frac{a \cdot (\sqrt{x} – \sqrt{y})}{x – y} \)

İç İçe Kökler

• Bir sayı kök içine girerken üssü kökün derecesi ile çarpılır.

\( a^m \cdot \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{x \cdot a^{m-n}} \)

• \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{\sqrt[p]{x}}} = \sqrt[m \cdot n \cdot p]{x} \)
• \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{\sqrt[p]{x \cdot y \cdot z}}} = \sqrt[m \cdot n \cdot p]{x \cdot y \cdot z} \)
• \( x > y \) olmak üzere

\( \sqrt{T \pm 2 \cdot \sqrt{\mathcal{Ç}}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \), burada \( \mathcal{Ç} = x \cdot y \), \( T = x + y \).

Köklü Sayılarda Sıralama

Köklü sayılarda sıralama yapılırken önce köklerin dereceleri eşitlenir. Sonra köklerin içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralanır.

• \( x < y < z \) ise \( \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y} < \sqrt[n]{z} \)
• \( 1 < \sqrt{2} < \sqrt{3} < 2 < \sqrt{5} < \sqrt{6} < \sqrt{7} < \sqrt{8} < 3 \)
• \( \sqrt{2} \approx 1.4 \)
  \( \sqrt{3} \approx 1.7 \)