Üslü İfadeler

9. SINIF-TYT· SAYILAR VE CEBİR

Üslü İfadeler

Tanımdan bilimsel gösterime kadar tüm kuralları, bol çözümlü örnekle ve 10 soruluk bir quizle adım adım öğreneceğiz.

Üslü İfade Nedir? İşaret Kuralları

Bir sayının kendisiyle defalarca çarpımını kısa yazmanın yolu üslü ifadedir. $a$ sıfırdan farklı bir gerçek sayı ve $n$ pozitif tam sayı olmak üzere:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ tane}}$

Burada $a$ sayısına taban, $n$ sayısına üs (kuvvet) denir.

Kural · İşaret

Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.

$(-a)^{2n} = a^{2n} \ (+) \qquad (-a)^{2n+1} = -a^{2n+1} \ (-)$

⚠️ En Kritik Ayrım

$(-2)^4$ ile $-2^4$ farklıdır. Parantez varsa eksi de üsse dâhildir: $(-2)^4 = 16$. Parantez yoksa üs yalnızca tabana aittir, eksi dışarıda kalır: $-2^4 = -16$.

Örnek 1$(-3)^4$, $-3^4$ ve $(-3)^3$ ifadelerini karşılaştıralım.

$(-3)^4 = 81$ (çift üs → pozitif, parantez eksiyi kapsar)

$-3^4 = -(3^4) = -81$ (eksi dışarıda kalır)

$(-3)^3 = -27$ (tek üs → negatif)

$(-3)^4 = 81,\quad -3^4 = -81,\quad (-3)^3 = -27$

Örnek 2$a$ negatif bir gerçek sayı olmak üzere $-a^6$ ve $(-a)^5$ ifadelerinin işaretini belirleyelim.

$a<0$ olsa da $a^6$ çift kuvvet olduğu için pozitiftir; başındaki eksi ile $-a^6 < 0$ → negatif.

$-a > 0$ olduğundan $(-a)^5$ pozitif bir sayının kuvvetidir → pozitif.

$-a^6$ negatif, $(-a)^5$ pozitiftir.

Örnek 3$n$ pozitif tam sayı olmak üzere $(-1)^{2n} + (-1)^{2n+1}$ toplamını bulalım.

$2n$ daima çift → $(-1)^{2n} = 1$.

$2n+1$ daima tek → $(-1)^{2n+1} = -1$.

$1 + (-1) = 0$

Sıfır ve Negatif Üs

Kural · Sıfır Üs

$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$

Kural · Negatif Üs

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$

Örnek 4$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2}$ ifadesinin değerini bulalım.

Negatif üs kesri ters çevirir, üs pozitife döner:

$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} = \dfrac{16}{9}$

Sonuç: $\dfrac{16}{9}$

Örnek 5$(0,5)^{-4}$ ifadesinin değerini bulalım.

Önce ondalığı kesre çevirelim: $0,5 = \dfrac{1}{2}$.

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16$

Sonuç: $16$

Örnek 6$2^{-3} + 3^{-1} - 5^0$ işleminin sonucunu bulalım.

$2^{-3} = \dfrac{1}{8}, \quad 3^{-1} = \dfrac{1}{3}, \quad 5^0 = 1$.

Ortak payda $24$: $\dfrac{3}{24} + \dfrac{8}{24} - \dfrac{24}{24} = \dfrac{3+8-24}{24}$.

Sonuç: $-\dfrac{13}{24}$

Çarpma ve Bölme Kuralları

Tabanlar aynıysa

Kural

Çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır.

$a^x \cdot a^y = a^{x+y} \qquad \dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$

Üsler aynıysa

Kural

Aynı üste sahip sayılarda tabanlar çarpılır/bölünür.

$a^x \cdot b^x = (a\cdot b)^x \qquad \dfrac{a^x}{b^x} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^x$

Örnek 7$\dfrac{5^9 \cdot 5^4}{5^{10}}$ işleminin sonucunu bulalım.

Payda çarpım: üsler toplanır → $5^{9+4} = 5^{13}$.

Bölmede üsler çıkarılır → $5^{13-10} = 5^3$.

Sonuç: $5^3 = 125$

Örnek 8$8^3 \cdot 125^3$ işleminin sonucunu bulalım.

Üsler aynı ($3$) → tabanlar çarpılır:

$8^3 \cdot 125^3 = (8 \cdot 125)^3 = 1000^3 = 10^9$

Sonuç: $10^9 = 1\,000\,000\,000$

Örnek 9$2^x = 3$ olduğuna göre $2^{x+2}$ ifadesinin değerini bulalım.

Üssü ayıralım: $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2$.

$2^x = 3$ yerine konur: $3 \cdot 4 = 12$.

Sonuç: $12$

Üssün Üssü

Kural

Bir üslü ifadenin tekrar üssü alınırsa üsler çarpılır.

$(a^x)^y = a^{x \cdot y}$

⚠️ Karıştırma

$(a^x)^y = a^{xy}$ ama $a^{x^y}$ farklıdır (önce üstteki üs hesaplanır). Örneğin $(2^2)^3 = 2^6 = 64$ iken $2^{2^3} = 2^8 = 256$.

Örnek 10$\dfrac{(2^3)^4}{2^{10}}$ işleminin sonucunu bulalım.

Üssün üssü: $(2^3)^4 = 2^{12}$.

Bölme: $2^{12-10} = 2^2$.

Sonuç: $2^2 = 4$

Örnek 11$A = 2^{12}$ ve $B = 4^7$ sayılarını karşılaştıralım.

Tabanları eşitleyelim: $4 = 2^2$ → $B = (2^2)^7 = 2^{14}$.

Artık aynı taban: $2^{12}$ ile $2^{14}$. Üs büyük olan büyüktür.

$B > A$ (çünkü $2^{14} > 2^{12}$)

Toplama-Çıkarma ve Ortak Çarpan

Üslü ifadelerde toplama ve çıkarma için üsler işleme girmez. Bunun yerine ortak çarpan parantezine alınır.

Kural · Ortak Çarpan

$a\cdot x^n + b\cdot x^n - c\cdot x^n = (a+b-c)\cdot x^n$

Örnek 12$3^{12} + 3^{11}$ ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Küçük üslü olan $3^{11}$ paranteze alınır: $3^{12} = 3^{11}\cdot 3$.

$3^{11}\cdot 3 + 3^{11} = 3^{11}(3+1) = 3^{11}\cdot 4$

Sonuç: $4 \cdot 3^{11}$

Örnek 13$\dfrac{6^7 + 12^7}{7^7 + 14^7}$ işleminin sonucunu bulalım.

Pay: $12 = 2\cdot 6$ olduğundan $12^7 = 2^7 \cdot 6^7$. Ortak çarpan $6^7$:

$6^7 + 12^7 = 6^7(1 + 2^7)$

Payda: $14 = 2\cdot 7$ olduğundan $14^7 = 2^7 \cdot 7^7$. Ortak çarpan $7^7$:

$7^7 + 14^7 = 7^7(1 + 2^7)$

$(1+2^7)$ sadeleşir: $\dfrac{6^7}{7^7} = \left(\dfrac{6}{7}\right)^7$.

Sonuç: $\left(\dfrac{6}{7}\right)^7$

Bilimsel Gösterim

Çok büyük ya da çok küçük sayıları kısa yazmak için kullanılır. $1 \le |a| < 10$ olan bir $a$ gerçek sayısı ve $n$ tam sayısı ile $a \cdot 10^n$ biçimindeki yazılışa bilimsel gösterim denir.

💡 Pratik Kural

Virgülü sola kaydırırsan üs artar (pozitif), sağa kaydırırsan üs azalır (negatif). Kaydırdığın basamak sayısı üssü verir.

Örnek 14$0,00042$ sayısını bilimsel gösterimle yazalım.

Virgülü $4$'ün sağına taşırız: $4,2$. Bunun için $4$ basamak sağa kaydırdık → üs $-4$.

Sonuç: $4,2 \cdot 10^{-4}$

Örnek 15$0,00000006$ sayısının bilimsel gösterimi $a\cdot 10^b$ ise $a+b$ toplamını bulalım.

Bilimsel gösterim: $6 \cdot 10^{-8}$. Buradan $a=6$, $b=-8$.

$a+b = 6 + (-8) = -2$

Örnek 16$0,024 \cdot 10^{-5}$ ifadesini bilimsel gösterime çevirelim.

$0,024 = 2,4 \cdot 10^{-2}$ olur.

Yerine yazıp üsleri toplarız: $2,4 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-5} = 2,4 \cdot 10^{-7}$.

Sonuç: $2,4 \cdot 10^{-7}$

🔬 Fizikte Nerede İşimize Yarar?

Bilimsel gösterim fen bilimlerinin ortak dilidir: bir elektronun kütlesi $9,1\cdot 10^{-31}$ kg, ışık hızı $3\cdot 10^{8}$ m/s, Avogadro sayısı $6,02\cdot 10^{23}$. Bu sayıları uzun uzun yazmak yerine üslü ifadeyle işlem yaparız.

Örnek 17Işık, boşlukta $3\cdot 10^{8}$ m/s hızla yayılır. Işığın $2\cdot 10^{-3}$ saniyede aldığı yolu bulalım. (yol = hız $\times$ zaman)

Katsayıları ve $10$'un kuvvetlerini ayrı ayrı çarparız:

$(3\cdot 10^{8}) \cdot (2\cdot 10^{-3}) = (3\cdot 2)\cdot 10^{8+(-3)}$

$= 6 \cdot 10^{5}$ metre.

Sonuç: $6\cdot 10^{5}$ m $= 600\,000$ m $= 600$ km

Mini Quiz

10 YKS seviyesi soru (5 şıklı). Bazıları fizik bağlamlı. Her şıkta anında geri bildirim ve tam çözüm alırsın.

Doğru: 0 / 10 Cevaplanan: 0

Quiz Tamamlandı!

0/10