Mantık
Önerme
Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p, q, r, s, t gibi harflerle gösterilir.
Soru, ünlem, emir, istek vb. anlamlar içeren ifadeler önerme değildir.
ÖRNEK 1
Aşağıdakilerin önerme olup olmadıklarını bulunuz.
- p: “3 bir asal sayıdır.”
- q: “Ne güzel bir sonuç.”
- r: “Şu yazıyı okur musun?”
- s: “Çalışma artık!”
ÇÖZÜM
Kesin hüküm bilindiği için sadece p bir önermedir.
NOT
Bir p önermesi doğru hüküm bildiriyorsa 1 (veya D), yanlış hüküm bildiriyorsa 0 (veya Y) ile gösterilir.
Doğruluk Tablosu
Bir önermenin doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir.
| p | q |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
| 0 | 0 |
ÖRNEK 2
3 farklı önermenin doğruluk tablosunu oluşturunuz.
ÇÖZÜM
| p | q | r |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
NOT
Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk (eş değer) önermeler denir. p ve q önermeleri denk ise p ≡ q ile gösterilir.
Bir Önermenin Olumsuzu
Bir önermenin hükmünün değiştirilmesi ile elde edilen yeni önerme, bu önermenin değili (olumsuzu) denir.
- Bir p önermesinin değili p’ veya p̅ ile gösterilir.
- Bir önermenin değininin değili yine kendisidir. Yani (p’)’ ≡ p’dir.
Bileşik Önermeler
İki ya da daha fazla önermenin birbirine “veya”, “ve”, “ya da”, “ise” gibi bağlarla bağlanmasıyla oluşturulan önermelere bileşik önerme denir.
Ve (\(\land\)) Bağlacı
Ve bağlacı ile bağlanmış önermenin oluşturduğu bileşik önerme, bileşenlerden ikisi de doğruyken doğrudur. Diğer durumlarda yanlıştır. Ve bağlacı “\(\land\)” ile gösterilir.
| p | q | p \(\land\) q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Örnek
Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
- a) \(1 \land 1\)
- b) \((1 \land 1) \land 0’\)
- c) \(p \land 1\)
- d) \(p \land p’\)
Çözüm
- a) \(1 \land 1 ≡ 1\)
- b) \((1 \land 1) \land 0′ ≡ 1 \land 1 ≡ 1\)
- c) \(p \land 1 ≡ p\)
- d) \(p \land p’ ≡ 0\)
Veya (\(\lor\)) Bağlacı
Veya bağlacı ile bağlanmış önermenin oluşturduğu bileşik önerme, bileşenlerden en az biri doğru olduğunda doğrudur. Her ikisi yanlış olduğunda yanlıştır. Veya bağlacı “\(\lor\)” ile gösterilir.
| p | q | p \(\lor\) q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Örnek
Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
- a) \(1 \lor 0\)
- b) \((0′ \lor 0) \lor 1\)
- c) \(p \lor 0\)
- d) \(p \lor p’\)
Çözüm
- a) \(1 \lor 0 ≡ 1\)
- b) \((0′ \lor 0) \lor 1 ≡ 1 \lor 1 ≡ 1\)
- c) \(p \lor 0 ≡ p\)
- d) \(p \lor p’ ≡ 1\)
Ya da (∨) Bağlacı
“Ya da” bağlacı ile oluşturulan bileşik önerme; bileşenlerden sadece biri doğru olduğu durumlarda doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
- Ya da bağlacının değişme özelliği vardır.
- p ∨ q ≡ q ∨ p
- Ya da bağlacının birleşme özelliği vardır.
- (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.
- a) 1 ∨ (1 ∨ 0)
- b) (0 ∨ 0) ∨ 1
- a) 1 ∨ (1 ∨ 0) ≡ 1 ∨ 1 ≡ 0
- b) (0 ∨ 0) ∨ 1 ≡ 0 ∨ 1 ≡ 1
İse (⇒) Bağlacı
İse (⇒) bağlacı ile oluşturulan bileşik önerme (\( p \Rightarrow q \)) birinci bileşeni (\( p \)) doğru ve ikinci bileşeni (\( q \)) yanlış iken yanlıştır; diğer durumlarda doğrudur.
- İse (⇒) bağlacı ile bağlaması sonucunda oluşan bileşik önermelere koşullu önerme denir.
- Koşullu bir önermenin doğruluk değeri 1 ise, bu bileşik önermeye gerektirme denir.
- \( p \Rightarrow q \equiv \neg p \lor q \)
| p | q | \( p \Rightarrow q \) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz.
- a) \( 1 \Rightarrow (1 \Rightarrow 1) \)
- b) \( (0 \Rightarrow 1) \Rightarrow 0 \)
- a) \( 1 \Rightarrow (1 \Rightarrow 1) \equiv 1 \Rightarrow 1 \equiv 1 \)
- b) \( (0 \Rightarrow 1) \Rightarrow 0 \equiv 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 \)
Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi ve Karşıt Tersi
Bir \( p \Rightarrow q \) koşullu önermesinin:
- Karşıtı: \( q \Rightarrow p \)
- Tersi: \( \neg p \Rightarrow \neg q \)
- Karşıt Tersi: \( \neg q \Rightarrow \neg p \)
Bir koşullu önerme ile bu önermenin karşıt tersinin doğruluk değerleri aynıdır.
\( p : “a = 2” \) ve \( q : “a^2 = 4” \) önermelerine göre, \( p \Rightarrow q \) bileşik önermesinin karşıtı, tersi ve karşıt tersini yazınız.
- Karşıtı: \( “a^2 = 4” \Rightarrow “a = 2” \)
- Tersi: \( “a \neq 2” \Rightarrow “a^2 \neq 4” \)
- Karşıt Tersi: \( “a^2 \neq 4” \Rightarrow “a \neq 2” \)
Aşağıdaki önermelerin karşıtı, tersi ve karşıt tersini bulunuz:
- a) \( p \Rightarrow q’ \)
- b) \( \neg p \Rightarrow q \)
- c) \( (\neg p \land q)’ \Rightarrow r \)
- a) \( q’ \Rightarrow p \)
- b) \( \neg q \Rightarrow p \equiv p \Rightarrow q’ \)
- c) \( (\neg r)’ \Rightarrow (\neg p \land q)’ \equiv r \Rightarrow (p \lor \neg q) \)
Ancak ve Ancak (⟺) Bağlacı
- Ancak ve ancak (⟺) bağlacı ile oluşturulan bileşik önerme bileşenlerinin ikisi de aynı doğruluk değerine sahip olduğu durumlarda doğru, diğer durumlarda yanlıştır.
- İki yönlü koşullu önerme:
- \( p \iff q \equiv (p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p) \)
- \( (p \iff q)’ \equiv p’ \iff q’ \)
- İki yönlü koşullu önermenin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift yönlü gerektirme denir.
| p | q | p ⟺ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz:
- a) \( (1 \Rightarrow 0) \iff 0 \)
- b) \( (1 \iff 1)’ \iff 1 \)
- a) \( (1 \Rightarrow 0) = 0 \), \( 0 \iff 0 = 1 \)
- b) \( (1 \iff 1)’ = 0 \), \( 0 \iff 1 = 0 \)
Aşağıdaki önermelerin en sade hâlini bulunuz:
- a) \( p \iff p’ \)
- b) \( p \iff 1 \)
- c) \( p \iff 0 \)
- a) \( p \iff p’ \equiv 0 \)
- b) \( p \iff 1 \equiv p \)
- c) \( p \iff 0 \equiv p’ \)
Açık Önerme
Doğruluğu içindeki değişkenlere bağlı olarak değişen önermelere açık önerme denir. Herhangi bir küme üzerinde tanımlanmış bir açık önermeyi doğrulayan değerlerin kümesine bu açık önermenin doğruluk (çözüm) kümesi denir.
\( p(x) : “x \in \mathbb{N}, \, x \leq 2” \) açık önermesi için:
- a) \( p(3) \) önermesinin doğruluk değerini bulunuz.
- b) Doğruluk kümesini bulunuz.
- a) \( p(3) : “3 \in \mathbb{N}, \, 3 \leq 2” \rightarrow p(3) = 0 \)
- b) \( x \in \mathbb{N}, \, x \leq 2 \rightarrow x = 0, 1 \, \text{ve} \, 2 \rightarrow D = \{0, 1, 2\} \)
Niceleyiciler
Önüne geldiği ifadelerin çokluğunu gösteren bazı (\( \exists \)) ve her (\( \forall \)) sözcüklerine niceleyici denir.
- Bazı (\( \exists \)) Niceleyicisi: Önüne geldiği ifadenin en az bir tane olduğunu belirtir ve \( \exists \) sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye aynı zamanda varlıksal niceleyici de denir.
- Her (\( \forall \)) Niceleyicisi: Önüne geldiği ifadenin tüm değerleri için olduğunu belirtir ve \( \forall \) sembolü ile gösterilir. Bu niceleyiciye aynı zamanda evrensel niceleyici de denir.
Sembolik mantık diliyle ifade edilen aşağıdaki önermeleri sözel olarak ifade ediniz:
- a) \( \forall x \in \mathbb{Z}, \, x^2 > 0 \)
- b) \( \exists x \in \mathbb{N}, \, x < 1 \)
- a) Her \( x \) tam sayısı için \( x^2 \) pozitiftir.
- b) Bazı \( x \) doğal sayıları \( 1 \)’den küçüktür.
Niceleyici Bulunduran Bir Açık Önerme ve Değili
\( x \) bir değişken ve \( p(x) \) açık önerme olmak üzere:
- \( (\forall x, p(x))’ \equiv \exists x, p'(x) \)
- \( (\exists x, p(x))’ \equiv \forall x, p'(x) \)
önermeleri vardır.
Aşağıdaki açık önermelerin değilini bulunuz:
- a) \( \forall x \in \mathbb{N}, \, x > 0 \)
- b) \( \exists x \in \mathbb{Q}, \, 4x^2 = 1 \)
- a) \( \exists x \in \mathbb{N}, \, x \leq 0 \)
- b) \( \forall x \in \mathbb{Q}, \, 4x^2 \neq 1 \)
Aksiyom, Tanım ve Teorem
Aksiyom: Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere aksiyom denir.
Tanım: Bir kavramın niteliklerini etkisiz olarak en sade biçimde açıklamaya veya belirtmeye tanım denir.
Teorem: Doğruluğu ispatlanması gereken bileşik önermelere teorem denir.
\( p \Rightarrow q \) teoreminde \( p \) önermesine hipotez, \( q \) önermesine yargı denir. Bir teoremin doğru olması için hem hipotez hem de hükmün doğru olması gerekir.
“Bir doğal sayının karesi tek ise bu doğal sayı tektir.” teoremin hipotezini ve hükmünü belirtiniz.
- Hipotez: Bir doğal sayının karesi tektir.
- Hüküm: Bu doğal sayı tektir.
Mantık
Mantık : Önerme tanımı, Bileşik önermeler, Bağlaçlar, Niceleyiciler