Oran Orantı
Oran
Birimleri aynı olan iki gerçek sayının birbirine bölümüne oran denir.
Orantı
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \] orantısında \(k\) gerçek sayısına orantı sabiti denir.
Not
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{orantısı } a : b = c : d \text{ şeklinde yazılabilir.} \]
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{orantısında içler-dışlar çarpımı birbirine eşittir.} \]
\[ a \cdot d = b \cdot c \]
Örnek
\[ \frac{a + b}{a} = \frac{4}{3} \] olduğuna göre, \(\frac{a}{b}\) oranı kaçtır?
Çözüm
\[ 3(a + b) = 4a \implies a = 3b \implies \frac{a}{b} = 3 \]
Not
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \quad \text{orantısında } a = b \cdot k \text{ ve } c = d \cdot k \text{ dır.} \]
Not
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \] orantısında:
\[ \frac{a + c + e}{b + d + f} = k \quad \text{ya da } \quad \frac{n \cdot a + m \cdot c + p \cdot e}{n \cdot b + m \cdot d + p \cdot f} = k \]
Not
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \quad \text{ise} \quad \frac{a^n}{b^n} = \frac{c^n}{d^n} = k^n \text{ dır.} \]
Not
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = k \quad \text{orantısında:} \]
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = k^2, \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} = k^3 \]
Eşitlikleri vardır.
Doğru Orantı
x ve y herhangi bir sabitle birbirine bağlı olsun. x artarken y de artıyor ya da x azalırken y de azalıyorsa ve birbirine bağlı olduğu sabit değişmiyorsa x ile y doğru orantılıdır denir.
Doğru orantının formülü: \(\frac{x}{y}\) = k (k > 0 olmak üzere)
Not
\( a \) ve \( b \) ile \( c \) ve \( d \) doğru orantılı ise:
\[ \frac{a}{c} = \frac{b}{d} \]
Bu durumda:
\[ a \cdot d = b \cdot c \quad \text{dir.} \]
Ters Orantı
x ve y herhangi bir sabitle birbirine bağlı olsun. x artarken y azalıyor ya da x azalırken y artıyorsa ve birbirine bağlı olduğu sabit değişmiyorsa x ile y ters orantılıdır denir.
- \( k > 0 \) olmak üzere \( x \cdot y = k \) biçiminde gösterilir.
Not
\( a \) ve \( b \) ile \( c \) ve \( d \) ters orantılı ise:
Bileşik Orantı
İçerisinde hem doğru hem de ters orantı bulunan orantılara bileşik orantı denir.
- \( x \) sayısı, \( y \) ile doğru ve \( z \) ile ters orantılı ise \( k = \frac{x \cdot z}{y} \) dir.
- \( a, b \) ve \( c \) sayıları sırasıyla \( x \) ve \( y \) ile doğru, \( z \) ile ters orantılı ise: \[ \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = c \cdot z=k \]
Not
Bir bileşik orantı probleminde: \[ \frac{\text{Yapılan 1. iş}}{\text{Diğerlerinin çarpımı}} = \frac{\text{Yapılan 2. iş}}{\text{Diğerlerinin çarpımı}} \] eşitliği vardır.
Örnek
Eşit kapasiteli 6 işçi \( 720 \, \text{m}^2 \) tarlayı 4 saatte sürebilmektedir. Buna göre, aynı kapasiteli 9 işçi 6 saatte kaç metrekare tarla sürebilir?
Çözüm
\[ \frac{720}{6 \cdot 4} = \frac{x}{9 \cdot 6} \implies x = 1620 \]
Aritmetik Ortalama
Verilen bir sayı dizisindeki sayıların toplamının veri adedine bölünmesine aritmetik ortalama denir.
Aritmetik Ortalama Formülü:
\[ \text{Aritmetik Ortalama} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \]
Not
x tane sayının aritmetik ortalaması y ise bu sayıların toplamı x·y’dir.
Örnek
Birbirinden farklı dört tam sayının aritmetik ortalaması 32’dir.
Bu sayıların ikisinin aritmetik ortalaması 30 olduğuna göre, diğer iki sayının aritmetik ortalaması kaçtır?
Çözüm
\[ a + b + c + d = 128 \quad \text{(4 sayı toplamı)} \]
\[ a + b = 60 \quad \text{(İlk iki sayı toplamı)} \]
\[ c + d = 68 \quad \text{(Son iki sayı toplamı)} \]
\[ \text{Aritmetik Ortalama} = \frac{c + d}{2} = \frac{68}{2} = 34 \]
Not
Bütün sayılara aynı sayı eklenir ya da çıkarılırsa aritmetik ortalama eklenen ya da çıkarılan sayı kadar değişir.
Geometrik Ortalama
n tane pozitif sayının çarpımının n. kuvvetten köküne bu sayıların geometrik ortalaması denir.
Geometrik Ortalama:
\[ \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \cdots \cdot x_n} \]
4, 8 ve 16 sayılarının geometrik ortalaması kaçtır?
\[ \text{G.O.} = \sqrt[3]{4 \cdot 8 \cdot 16} = 8 \]
a ve b sayılarının orta orantılısı bu sayıların geometrik ortalamasıdır.
4 ve 16 sayılarının orta orantılısı kaçtır?
\[ \text{G.O.} = \sqrt{4 \cdot 16} = 8 \]
Aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasına eşit olan sayılar birbirine eşittir.