Permütaston, Kombinasyon

$\section*{Permütasyon:} \\ \\ n, r \in \mathbb{N}, \quad r \leq n \text{ olsun.} \\ \\ n \text{ tane elemanın } r'li \text{ sıralanışlarına "n'in r'li permütasyonu" denir ve } P(n, r) \text{ ile gösterilir.} \\ \\ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \\ \\ P(n, r) = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - r + 1) \quad \text{(r tane)} \\ \\ P(n, n) = n! \\ \\ P(n, 1) = n \\ \\ P(n, 0) = 1 \quad \text{(0! = 1)} \\ \\ \emptyset \text{ kümesinin permütasyon sayısı 1 kabul edilir.}$

Örneğin, 6 farklı nesnenin 3 tanesi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?
P(6, 3) = 6 . 5 . 3 = 120 farklı şekilde sıralanabilir.

Not:
Herhangi iki nesnenin yan yana gelmesinin istenmediği durumlarda, önce diğer nesneler yerleştirilir, daha sonra boşluklara istenen nesneler yerleştirilir.
Örneğin, 4 doktor ve 3 hemşire herhangi iki hemşire yan yana gelmeyecek şekilde sıralanmak istendiğinde
4! = 24 farklı şekilde doktorlar sıralanır. Doktorlar yerleştirildikten sonra 5 boşluk oluşur.
Bu boşluklara doktorlar P(5, 3) = 60 farklı şekilde yerleştirilir.
Toplam sıralama: 24 . 60 = 1440 farklı şekilde yapılabilir.

$\subsection*{Tekrarlı Permütasyon:} \\ n_1 + n_2 + \dots + n_k = n \text{ olacak şekilde n tane nesnenin;} \\ n_1 \text{ tanesi aynı türden özdeş,} \\ n_2 \text{ tanesi aynı türden özdeş,} \\ \vdots \\ n_k \text{ tanesi aynı türden özdeş} \\ \text{ise bu n tane nesnenin farklı sıralanışlarının sayısı:} \\ \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \section*{Yol Problemi:}$

$\text{A noktasından B noktasına çizgiler üzerinden ilerleyerek en kısa yoldan gidebilmek için;} \\ \text{(4 sağ) ve (3 yukarı) çizgi üzerinden hareket etmek gerekir.} \\ \text{Bu durumda } \frac{7!}{4! \cdot 3!} = 35 \text{ farklı şekilde yapılabilir.}$

$\subsection*{Ayraç Metodu:} \\ \\ \text{Özdeş nesne dağılımında kullanılır.} \\ \\ \text{Nesneler kaç gruba ayrılacaksa bir eksik sayıda ayraç kullanılır.} \\ \\ \text{Örneğin, özdeş 7 topun tamamı 3 çocuğa, her çocuğa en az bir top}\\ \\ \text{verilmek üzere dağıtılırken önce her çocuğa bir top verilir.} \\ \\ \text{Kalan 4 topu 2 ayraç ile ayırırsak 3 gruba ayırmış oluruz: } \\ \\ \text{4 top ve 2 ayracı "oooo| |" bu şekilde modellersek bu nesnelerin kendi aralarındaki}\\ \\ \text{yer değiştirme sayısı bize sorunun cevabını verecektir.}\\ \\ $\frac{6!}{4! \cdot 2!}$ = 15 \text{ farklı şekilde yapılabilir.}$

Kombinasyon (Seçme, Gruplama, Alt Küme)

Bir kümenin n elemanından r tane eleman seçme işlemi, sıralama dikkate alınmaksızın yapılırsa buna n’in r’li kombinasyonu denir.

$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{P(n, r)}{r!} = \frac{n!}{r! (n - r)!} \ \\ \\ \text{Permütasyonda (P(n, r)) elemanlar sıralanırken,} \\ \\ \text{kombinasyonda (C(n, r)) sadece seçim yapılır, sıralama dikkate alınmaz.}$

Özellikler:

C(n, 0) = 1 çünkü boş küme her kümenin alt kümesidir.
C(n, n) = 1 çünkü tüm elemanların seçilmesi bir alt kümedir.
C(n, 1) = C(n, n-1) = n çünkü bir eleman seçmek ile bir elemanı dışarıda bırakmak aynı durumu ifade eder.

$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} \\ \\ \text{çünkü n elemanından r eleman seçmek ile geri kalan n-r elemanını seçmemek aynıdır.} \\ \\ \textbf{Örnekler:} \ C(8, 2) = \frac{P(8, 2)}{2!} = \frac{8 \cdot 7}{2!} = 28 \\ \\ (\text{8 elemandan 2 eleman seçimi}) \\ \\ \ C(7, 3) = \frac{P(7, 3)}{3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = 35 \\ \\ (\text{7 elemandan 3 eleman seçimi})$

$\subsection*{C(n, r) Hesaplaması:} \\ \\ C(n, r) = $\frac{P(n, r)}{r!}$ \quad \text{şeklinde hesaplanır.} \\ \\ \text{Bunu bir örnekle gösterecek olursak:} \\ \\ C(8, 2) = $\frac{P(8, 2)}{2!}$ = $\frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1}$ = 28 \\ \\ C(7, 3) = $\frac{P(7, 3)}{3!}$ = $\frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1}$ = 35$

Kombinasyonun Özellikleri:

$\subsection*{1.} \\ n \text{ farklı eleman içinden hiçbir elemanın seçilmemesi 1 durum belirtir, çünkü boş küme her kümenin alt kümesidir.} \\ C(n, 0) = 1 \\ C(0, 0) = 1$

$\subsection*{2.} \\ n \text{ farklı elemandan n elemanın tamamının seçilmesi 1 durum belirtir. Her küme, kendisinin alt kümesidir.} \\ C(n, n) = 1$

$\subsection*{3.} \\ n \text{ farklı eleman içinden bir eleman n farklı şekilde seçilebilir ve} \\ \\ \text{bu durumda geriye seçilmeyen } (n - 1) \text{ eleman kalır.} \\ \\ \text{Bu sebeple n elemandan 1 eleman seçmek ile } (n - 1) \text{ elemandan 1 eleman seçmek,} \\ \\ \text{durum sayısı olarak aynıdır.} \\ \\ $\binom{n}{1}$ = $\binom{n}{n - 1}$ = n$

$\subsection*{4.} \\ n \text{ farklı elemandan r farklı elemanı seçmek ile } (n - r) \text{ elemanının seçilmemesi durum sayısı aynıdır.} \\ \\ \text{r eleman seçildiğinde geri kalan } (n - r) \text{ elemanda bir seçim olarak bırakılmış olur.} \\ \\ $\binom{n}{r}$ = $\binom{n}{n - r}$$

Bir yanıt yazın Yanıtı iptal et