İçeriğe geç
Anasayfa » Polinomlar Konu Anlatımı

Polinomlar Konu Anlatımı

Fonksiyonlar Konu Anlatımı
Polinomlar Konu Anlatımı
Polinomlar

\( x \) bir değişken, \( n \in \mathbb{N} \) ve \( a_0, a_1, …, a_n \) birer gerçek sayı olmak üzere, \( P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + … + a_2 \cdot x^2 + a_1 \cdot x + a_0 \) biçimindeki ifadelere gerçek katsayılı ve bir değişkenli polinom adı verilir.

Polinom olması için \( x \)’in kuvvetleri doğal sayı olmalıdır.

Örnek
\( P(x) = -3x^2 + 4x + 1 \), \( Q(x) = x^3 – \frac{\sqrt{x}}{2} \), \( R(x) = \sqrt{3x^2} + 2 \), \( T(x) = 2x^2 + \frac{1}{x} \)
ifadelerinden hangileri polinomdur?
\( P(x) \) ve \( R(x) \) birer polinomdur.
Örnek
\( P(x) = 2x^{n-2} + x + x^{8-n} \)
ifadesi bir polinom olduğuna göre, \( n \)’nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
\( n – 2 \in \mathbb{N} \), \( 8 – n \in \mathbb{N} \) olduğundan, \( n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \) olabilir.
\( 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 \).
Örnek
\( P(x) = x^{\frac{n+12}{n}} + x^{n-3} + 1 \)
ifadesi bir polinom olduğuna göre, \( n \)’nin alabileceği değerleri bulunuz.
\( \frac{n+12}{n} = 1 + \frac{12}{n} \in \mathbb{N} \) ve \( n – 3 \in \mathbb{N} \),
\( n = 12, 6, 4, 3 \) olabilir.
Not
\( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \) polinomunda:
  • \( a_n x^n, a_{n-1} x^{n-1}, \cdots, a_2 x^2, a_1 x, a_0 \) ifadelerine polinomun terimleri denir.
  • \( a_n, a_{n-1}, \cdots, a_2, a_1, a_0 \) gerçek sayılarına polinomun katsayıları denir.
  • \( x \) değişkenlerinin aldığı en büyük üssü polinomun derecesi denir ve \( \text{deg}[P(x)] \) ile gösterilir.
  • Bir polinomun en büyük dereceli teriminin katsayısına polinomun başkatsayısı denir.
  • \( a_0 \) ifadesine polinomun sabit terimi denir.
Örnek
\( P(x) = -5x^2 + 3x^4 + 6 \) polinomunun:
  1. Terim sayısını
  2. Derecesini
  3. Başkatsayısını
  4. Sabit terimini bulunuz.
  • a) Terim sayısı: 3
  • b) Derecesi: 4
  • c) Başkatsayısı: 3
  • d) Sabit terimi: 6
Örnek
Birinci dereceden bir \( P(x) \) polinomunun sabit terimi \( 3 \), başkatsayısı \( 4 \)’tür.
Buna göre, \( P(2) \) kaçtır?
\( P(x) = 4x + 3 \implies P(2) = 4 \cdot 2 + 3 = 11 \).
Örnek
\( P(x) = 2x^2 – ax + 4 \) polinomu için \( P(1) = 4 \) olduğuna göre, \( P(-2) \) değeri kaçtır?
\( P(1) = 6 – a = 4 \implies a = 2 \)
\( P(-2) = 8 + 4 + 4 = 16 \)’dır.
Not
Polinomlarda katsayılar toplamı bulunurken \( x = 1 \), sabit terim bulunurken \( x = 0 \) yazılır.
Örnek
\( P(x) = (x – 2)^2 \cdot (x + 1)^3 \) olduğuna göre, \( P(x) \) polinomunun sabit terimi ile katsayılar toplamının çarpımı kaçtır?
Sabit terim \( P(0) = 4 \) ve katsayılar toplamı \( P(1) = 8 \) olduğundan: \[ P(0) \cdot P(1) = 4 \cdot 8 = 32 \]
Örnek
\( P(x – 2) = 3x^2 – 4x + 1 \) polinomu için:
  • a) \( P(x) \) polinomunun sabit terimini
  • b) \( P(x + 1) \) polinomunun katsayılar toplamını bulunuz.
  • a) \( P(0) = 3 \cdot 2^2 – 4 \cdot 2 + 1 = 5 \)
  • b) \( P(2) = 3 \cdot 4^2 – 4 \cdot 4 + 1 = 33 \)
Örnek
\( P(x + 2) \) polinomunun sabit terimi \( 3 \), \( Q(2x + 1) \) polinomunun katsayılar toplamı \( 2 \) olduğuna göre, \( P(x + 1) + Q(x + 2) \) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?
\( P(2) = 3 \) ve \( Q(3) = 2 \) olduğundan katsayılar toplamı: \[ P(2) + Q(3) = 5 \]
Not
\( P(x) \) polinomunda:
  • Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı: \( \frac{P(1) + P(-1)}{2} \)
  • Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı: \( \frac{P(1) – P(-1)}{2} \)
Örnek
\( P(x) = (x^2 + x + 1)^3 \) polinomunun:
  • a) Tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamını,
  • b) Çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamını bulunuz.
  • a) \( \frac{P(1) – P(-1)}{2} = 13 \)
  • b) \( \frac{P(1) + P(-1)}{2} = 14 \)
Örnek
\( P(0) = 2 \) ve \( P(2) = 8 \) olmak üzere, \( P(x+1) \) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır?
\( x = 1 \) için \( P(2) = 8 \) ve \( x = -1 \) için \( P(0) = 2 \) ise: \[ \frac{P(2) – P(0)}{2} = \frac{8 – 2}{2} = 3 \]
Sabit Polinom

\( a_0 \) sıfırdan farklı gerçek sayı olmak üzere, \( P(x) = a_0 \) ise \( P(x) \) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi sıfırdır.

Örnek
\( P(x) = (a – 1)x^2 + (b – 2)x + a \cdot b \) polinomu, sabit polinom olduğuna göre, \( P(1) \) değeri kaçtır?
\( a – 1 = 0 \) ve \( b – 2 = 0 \) olduğundan: \[ P(x) = 2 \Rightarrow P(1) = 2 \]
Örnek
\( P(x) \) polinomunun derecesi sıfırdır. \( P(1) + P(-1) + P(0) = 12 \) olduğuna göre, \( P(2) \) kaçtır?
\( P(1) = P(-1) = P(0) = 4 \) olduğundan: \[ P(2) = 4 \]
Sıfır Polinom

\( P(x) = 0 \) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek
\( P(x) = (a + 1)x^2 + (b – 3)x + c + 2 \) polinomu sıfır polinomudur. Buna göre, \( a \cdot b \cdot c \) çarpımı kaçtır?
\( a + 1 = 0, \, b – 3 = 0 \, \text{ve} \, c + 2 = 0 \) olduğundan: \[ a \cdot b \cdot c = (-1) \cdot 3 \cdot (-2) = 6 \]
İki Polinomun Eşitliği

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerin katsayıları karşılıklı olarak birbirine eşit olan polinomlara eşit polinomlar denir.

Örnek
\( P(x) = 3x^2 + (a – 1)x + 4 \) ve \( Q(x) = (b + 1)x^2 + 2x + c + 2 \) polinomları eşit olduğuna göre, \( a + b + c \) toplamı kaçtır?
\( 3 = b + 1 \Rightarrow b = 2 \), \( a – 1 = 2 \Rightarrow a = 3 \), \( 4 = c + 2 \Rightarrow c = 2 \): \[ a + b + c = 3 + 2 + 2 = 7 \]
Örnek
\( ax^3 + bx^2 + cx + d = (x + 1)^3 + 2(x – 3)^2 – x \) eşitliğine göre, \( b – a + d – c \) ifadesinin eşiti kaçtır?
\( x = -1 \) için: \[ -a + b – c + d = 0 + 2 \cdot (-4)^2 + 1 = 33 \]
Örnek
\( P(x) \) polinomunun derecesi belirsizdir. \( P(x) = x^{a-2} + b + 1 \) olduğuna göre, \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?
\( a – 2 = 0 \Rightarrow P(x) = 1 + b + 1 \Rightarrow b = -2 \): \[ a \cdot b = 2 \cdot (-2) = -4 \]
Polinomlarda Toplama ve Çıkarma

Polinomlarda toplama ve çıkarma işlemi yapılırken aynı derece terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır veya çıkarılır, sonra o terimin katsayıları olarak yazılır.

\((P \pm Q)(x) = P(x) \pm Q(x)\)

Örnek
\(P(x) = x^3 + 3x^2 + 2x – 1\) ve \(Q(x) = x^2 – 5x + 4\) polinomları için:
  • a) \(P(x) + Q(x)\) işlemini bulunuz.
  • b) \(2P(x) – Q(x)\) işlemini bulunuz.
  • a) \(P(x) + Q(x) = x^3 + 4x^2 – 3x + 3\)
  • b) \(2P(x) – Q(x) = 2x^3 + 5x^2 + 9x – 6\)
Örnek
\(P(x) + 2Q(x) = 4x^2 + 2x\) ve \(P(x) – Q(x) = x^2 – x\) olduğuna göre, \(Q(x)\) polinomunu bulunuz.
Taraf tarafa çıkarılırsa: \[ 3Q(x) = 3x^2 + 3x \Rightarrow Q(x) = x^2 + x \]
Not
\( \text{der}[P(x)] = a \) ve \( \text{der}[Q(x)] = b \):
  1. Eğer \(a > b\) ise: \(\text{der}(P(x) \pm Q(x)) = a\)
  2. Eğer \(a = b\) ise: \(\text{der}(P(x) \pm Q(x)) \leq a\)
Örnek
\(P(x) = x^3 + x\), \(Q(x) = x^3 + 2x\), \(R(x) = x^4 – x\) polinomlarına göre:
  • a) \(\text{der}(P(x) + R(x))\)
  • b) \(\text{der}(R(x) – Q(x))\)
  • c) \(\text{der}(P(x) + Q(x))\)
  • d) \(\text{der}(P(x) – Q(x))\)
  • a) \(\text{der}(P(x) + R(x)) = 4\)
  • b) \(\text{der}(R(x) – Q(x)) = 4\)
  • c) \(\text{der}(P(x) + Q(x)) = 3\)
  • d) \(\text{der}(P(x) – Q(x)) = 1\)
Örnek
\(\text{der}(P(x) + Q(x)) = 6\) ve \(\text{der}(Q(x) – x^2) = 4\) olduğuna göre \(P(x)\) ve \(Q(x)\) polinomlarının derecelerini bulunuz.
\[ \text{der}(Q(x)) = 4 \quad \Rightarrow \quad \text{der}(P(x)) = 6 \text{ olur.} \]
Not
\(\text{der}(P(x)) = a\):
  1. \(\text{der}(P(mx + n)) = a\)
  2. \(\text{der}(P(x^k)) = k \cdot a\)
Örnek
\(P(x) = x^3 + 2x\) polinomu için:
  • a) \(\text{der}(P(2x + 1))\)
  • b) \(\text{der}(P(x^4))\)
  • a) \(P(2x + 1) = (2x + 1)^3 + 2(2x + 1)\)
    \(\text{der}(P(2x + 1)) = 3\)
  • b) \(P(x^4) = (x^4)^3 + 2(x^4)\)
    \(\text{der}(P(x^4)) = 12\)
Polinomlarda Çarpma İşlemi

\(P(x)\) ve \(Q(x)\) polinomlarının çarpımında polinomların her terimi birbirleriyle çarpılır ve elde edilen ifadelerin cebirsel toplamı yapılır:

\((P \cdot Q)(x) = P(x) \cdot Q(x)\)

Örnek
\(P(x) = x^5 + 2x^4 + x^2 + 3x\) ve \(Q(x) = x^3 – x + 4x^2 + 6\) olduğuna göre, \(P(x) \cdot Q(x)\) polinomunda \(x^5\)’li terimin katsayısı kaçtır?
\[ (x^5 \cdot 6), (2x^4 \cdot (-x)), (x^3 \cdot x^2) \text{ terimlerinden } 6x^5 – 2x^5 + x^5 = 5x^5 \] Bu durumda \(x^5\)’li terimin katsayısı 5’tir.
Not
  • \(\text{der }P(x) = a\) ve \(\text{der }Q(x) = b\) ise:
    1. \(\text{der }(P(x) \cdot Q(x)) = a + b\)
    2. \(\text{der }(P(x^k)) = k \cdot a\)
Örnek
\(P(x) = 2x^3 + x – 1\) ve \(Q(x) = (3x + 1)^2\) polinomları için:
a) \(\text{der }(P(x) \cdot Q(x))\)
b) \(\text{der }(P^2(x))\) ifadelerinin eşitini bulunuz.
a) \(P(x) \cdot Q(x) = 18x^5 + … \Rightarrow \text{der }(P(x) \cdot Q(x)) = 5\)
b) \(P^2(x) = 4x^6 + … \Rightarrow \text{der }(P^2(x)) = 6\)
Örnek
\(\text{der }(P(x) \cdot Q(x)) = 5\) ve \(\text{der }(P^2(x) \cdot Q^3(x)) = 12\) olduğuna göre, \(\text{der }(P(x) + Q(x))\) kaçtır?
\[ \text{der }P(x) = m \text{ ve } \text{der }Q(x) = n \text{ olsun.} \] \[ m + n = 5 \text{ ve } 2m + 3n = 12 \Rightarrow m = 3, n = 2 \] \[ \text{der }(P(x) + Q(x)) = 3 \text{ olur.} \]
Not
Polinomlarda bölme işleminde:
  • \(\text{der}[P(x)] \geq \text{der}[Q(x)]\)
  • \(\text{der}[K(x)] < \text{der}[Q(x)]\)
    • Açıklayıcı bir metin
  • \(P(x) = Q(x) \cdot B(x) + K(x)\)
  • Eğer \(K(x) = 0\) ise, \(P(x)\) tam bölünür ve \(P(x) = Q(x) \cdot B(x)\) olur.
Örnek
\(P(x) = 2x^3 – x^2 – 5x – 5\) ve \(Q(x) = 2x + 1\) polinomları için \(P(x)\)’in \(Q(x)\)’e bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
\(P(x) \div Q(x)\):
\[ \begin{array}{r|l} 2x^3 – x^2 – 5x – 5 & 2x + 1 \\ – (2x^3 + x^2) & x^2 – x – 2 \quad (\text{Bölüm}) \\ – (2x^2 – 5x) & -3 \quad (\text{Kalan}) \end{array} \]
Örnek
\(P(x)\) polinomu için: \((x + 2) \cdot P(x) = x^3 + ax^2 – 4\). Buna göre, \(P(-2)\) kaçtır?
\(x = -2\) için: \[ 0 = -8 + 4a – 4 \Rightarrow a = 3 \] \[ P(x) = x^2 + x – 2 \Rightarrow P(-2) = 0 \]
Not

Polinomlar üzerinde bölme işlemi yapılırken şu kurallar geçerlidir:

  • \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) tam bölünüyorsa: \(\text{der}\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right) = \text{der}[P(x)] – \text{der}[Q(x)]\)
  • \( \text{der}[P(x)] \geq \text{der}[Q(x)] \)
  • \( \text{der}[K(x)] < \text{der}[Q(x)] \)
Örnek

\(\text{der}(P(x) \cdot Q(x)) = 10\) ve \(\text{der}\left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right) = 2\) olduğuna göre, \(\text{der}\left(\frac{Q(x)}{x+1}\right)\) kaçtır?

\(\text{der}[P(x)] = m\) ve \(\text{der}[Q(x)] = n\) olsun.

\(m + n = 10\), \(m – n = 2\) \(\Rightarrow\) \(m = 6\), \(n = 4\).

\(\text{der}\left(\frac{Q(x)}{x+1}\right) = n – 1 = 3\).

Örnek

\(\text{der}\left(\frac{P^2(x)}{x}\right) = 7\), \(\text{der}[Q(x)] = 2\) ve \(\text{der}[P(x)] = ?\) olduğuna göre, \(\text{der}[Q(x)]\) kaçtır?

\(2\cdot\text{der}[P(x)] – 1 = 7 \Rightarrow \text{der}[P(x)] = 4\).

\(\text{der}[Q(x)] = 8\).

Not

P(x) Polinomunun ax + b ile Bölümünden Kalanı Bulma: P(x) polinomunun \(ax + b\) ile bölümünden kalanını bulmak için \(x\) yerine \(-\frac{b}{a}\) yazılır. Dolayısıyla kalan \(P\left(-\frac{b}{a}\right)\) ifadesidir.

Örnek

\(P(x) = x^2 – 6x + 1\) polinomunun \(x – 2\) ile bölümünden kalan kaçtır?

\(P(2) = 2^2 – 6 \cdot 2 + 1 = -7\)

Örnek

\(P(x) = x^3 + 4x + n\) polinomunun \(x + 1\) ile bölümünden kalan \(2\) olduğuna göre, \(n\) kaçtır?

\(P(-1) = (-1)^3 + 4 \cdot (-1) + n = -1 – 4 + n = 2\)

\(n = 7\)

Örnek

\(P(3x – 1) = 9x + 5\) olduğuna göre, \(P(x)\) polinomunun \(x\) ile bölümünden kalan kaçtır?

\(x = \frac{1}{3}\) için \(P(0) = 9 \cdot \frac{1}{3} + 5 = 8\)

Örnek

\(P(2x – 1) = x^3 + x\) polinomu için \(P(x + 1)\) polinomunun \(x – 2\) ile bölümünden kalan kaçtır?

\(P(2 + 1) = P(3) = 2^3 + 2 = 10\)

Örnek

\(P(x + 1) = (x – 2) \cdot Q(x) + 4\) eşitliği veriliyor.
\(P(x – 2)\) polinomunun \(x – 3\) ile bölümünden kalan \(12\) olduğuna göre, \(Q(x)\) polinomunun \(x\) ile bölümünden kalan kaçtır?

\(P(3 – 2) = P(1) = 12\) ve \(Q(0)\)’ı bulalım.

\(x = 0\) için \(P(1) = -2 \cdot Q(0) + 4 \Rightarrow Q(0) = -4\).

Not

\(P(x)\) polinomunu sıfır yapan \(a\) değeri (\(P(a) = 0\)) için:

  1. \(P(x)\) polinomu \(x – a\) ile tam bölünür.
  2. \(x – a\), \(P(x)\) polinomunun bir çarpanıdır.
  3. \(x = a\), \(P(x)\) polinomunun bir sıfırıdır.
Örnek

\(P(x) = 4x^2 + (a – 1)x – 6\) polinomunun bir çarpanı \(x + 3\) olduğuna göre, \(a\) kaçtır?

\(P(-3) = 0 \Rightarrow 36 + (a – 1) \cdot (-3) – 6 = 0 \Rightarrow a = 11\)

Örnek

\(P(x) = 2x^2 + 3x + a\) polinomunun sıfırlarından biri \(2\) olduğuna göre, diğeri sıfırı kaçtır?

\(P(2) = 0 \Rightarrow 8 + 6 + a = 0 \Rightarrow a = -14\)

\(2x^2 + 3x – 14 = 0 \Rightarrow (2x + 7)(x – 2) = 0\)

\(x = -\frac{7}{2}\) veya \(x = 2\)

Örnek

\(P(x)\) ikinci dereceden bir polinomdur. \(P(-2) = P(1) = 0\) olduğuna göre, \(\frac{P(4)}{P(-1)}\) kaçtır?

\(P(x) = a \cdot (x + 2)(x – 1)\) olduğundan:

\(\frac{P(4)}{P(-1)} = \frac{a \cdot 6 \cdot 3}{a \cdot 1 \cdot (-2)} = -9\)

Geri Polinomlar Çözümlü Sorular Ana Sayfa

Polinomlar Konu Anlatımı