Sayı Kümeleri, Üslü sayılar, Köklü sayılar

$& \section*{SAYI KÜMELERİ} \textbf{DOĞAL SAYILAR (\mathbb{N})} \\ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots, n, \dots\} \\ \text{Kümesinin elemanlarına \textbf{doğal sayı} denir.} \\ \mathbb{N}^+ = \{1, 2, 3, \dots, n, \dots\} \text{ kümesinin elemanlarına \textbf{sayma sayıları} veya \textbf{pozitif doğal sayılar} denir.} \\ \text{En küçük doğal sayı sıfırdır.}$

$\subsection*{RASYONEL SAYI (Q)} \\ b \neq 0 \text{ ve } a \text{ ile } b \text{ tam sayı olmak üzere, } \(\frac{a}{b} \text{ şeklinde yazılabilen sayılara \textbf{rasyonel sayı} denir.} \\ Q = \left\{\(\frac{a}{b} \, | \, a, b \in \mathbb{Z}, \, b \neq 0 \right\} \\ Q^+ : \text{Pozitif rasyonel sayılar } \quad \(\frac{1}{3}, \quad \(\frac{5}{7}, \quad 3 \dots \\ Q^- : \text{Negatif rasyonel sayılar } \quad -\(\frac{5}{4}, \quad -\(\frac{4}{7}, \quad -12 \dots \\ \text{Buna göre, her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. } \mathbb{Z} \subseteq Q \text{'dir.}$

$\subsection*{TAM SAYILAR (\mathbb{Z})} \\ \mathbb{Z} = \{\dots, -n, \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots, n, \dots\} \\ \text{Kümesinin elemanlarına \textbf{tam sayı} denir.} \\ \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots, n, \dots\} \text{ pozitif tam sayılar kümesidir.} \\ \mathbb{Z}^- = \{\dots, -n, \dots, -2, -1\} \text{ negatif tam sayılar kümesidir.} \\ \text{Sıfır sayısı pozitif veya negatif değildir.} \\ \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+ \text{ olarak ifade edilir.} \\ \text{Buna göre, her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır. } \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \text{'dir.} \\$

$\subsection*{DEVİRLİ ONDALIK SAYILARIN RASYONEL SAYILARA ÇEVRİLMESİ} \\ \textbf{payı bulurken:} \\ \text{(Sayının tamamı)} - \text{(Devretmeyen kısım)} \\ \textbf{paydayı bulurken:}\\ \text{Önce devreden basamak sayısı kadar 9 sonra devretmeyen basamak sayısı kadar 0 rakamı yazılır.} \\ \text{Paydanın bulunuşu virgülün sağ tarafı için geçerlidir.}$

$\subsection*{İRRASYONEL SAYILAR (\mathbb{Q}')} \\ \text{İki tam sayının oranı} \text{şeklinde yazılamayan sayılara} \textbf{irrasyonel sayı} \text{denir. İrrasyonel sayıların} \text{ondalık açılımında tekrar yoktur.} \\ \pi = 3,14159265 \dots \text{ sayısı irrasyoneldir.} \\ \sqrt{5}, \quad \sqrt{40}, \dots \text{ gibi tümü kökten} \text{ çıkmayan sayılar irrasyoneldir.} \\ \mathbb{Q}' \cap \mathbb{Q} = \emptyset \text{'dir.}$

$\subsection*{GERÇEK (REEL) SAYILAR (\mathbb{R})} \\ \text{Rasyonel sayılar kümesi} \text{ile irrasyonel sayılar kümesinin} \text{birleşimi olan kümeye} \textbf{reel (gerçek) sayılar kümesi} denir. \\ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}' \cup \{0\} \text{ şeklinde ifade edilir.}$

sayı kümeleri çözümlü sorulara buradan ulaşabilirsiniz.

$\subsection*{Üslü Sayı:} \\ \\ a \text{ gerçek sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a sayısının çarpımına } a \text{'nın } n. \text{ kuvveti denir ve} \\ \\ a \cdot a \cdot a \dots a = a^n \quad \text{(n tane)} \\ \\ \text{şeklinde gösterilir. Aynı sayının birden çok çarpımını kolay bir şekilde göstermek için kullanılır.}$

$\subsection*{Negatif Sayıların Kuvveti:} \\ \\ (-a)^n = a^n \quad \text{(n tam sayı ve a gerçek sayı olmak üzere)} \\ \\ (-a)^{2n+1} = -a^{2n+1} \\ \\ (-a)^{2n} = a^{2n}$

$\subsection*{Çarpma İşlemi:} \\ \\ \text{a bir reel sayı; m, n, p birer tam sayı olmak üzere:} \\ \\ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \\ \\ (a^m \cdot b^m) = (a \cdot b)^m \\ \\ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)$

$\subsection*{Çarpma İşleminin Tersi:} \\ \\ \text{a sıfırdan farklı bir gerçek sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere, a sayısının çarpma işlemine göre tersi } $\frac{1}{a}$ \text{'dir ve} $a^{-1}$ \text{ ile gösterilir.} \\ \\ $(a^{-1})^n$ = $\left( \frac{1}{a} \right)^n$ \quad \text{ve} \quad $\left( \frac{a}{b} \right)^{-n}$ = $\left( \frac{b}{a} \right)^n$$

$\subsection*{Toplama ve Çıkarma İşlemi:} \\ \\ k, n, p \quad \text{gerçek sayılar olmak üzere:} \\ \\ k \cdot a^m + n \cdot a^m - p \cdot a^m= (k+n-p) \cdot a^m \\ \\$

$\subsection*{Bölme İşlemi:} \\ \\ \text{a, c birer gerçek sayı ve m, p birer tam sayı olmak üzere:} \\ \\ \text{Bölme işleminde tabanlar aynı ise, payın üssünden paydanın üssü çıkarılır:} \\ \\ $\frac{a^m}{a^p}$ = a^{m-p} \\ \\ \text{Bölme işleminde üsler aynı ise, aynı üs altında payın tabanı paydanın tabanına bölünür:} \\ \\ $\left \frac{a^m}{c^m} \right $ = $\left( \frac{a}{c} \right)^m$ \\ \\ \text{Tabanı ve üssü farklı olan sayılar için tabanlar veya üsler aynı duruma getirilmeye çalışılır.}$

$\subsection*{Üslü Denklemler:} \\ \\ \text{Üslü denklemlerde tabanlar eşit ise üsler eşitlenir:} \\ \\ a \neq 0, \quad a \neq 1, \quad a \neq -1, \quad n \text{ sıfırdan farklı birer reel sayı olmak üzere:} \\ \\ a^n = a^m \text{ ise } n = m$

$\subsection*{Uyarı 1:} \\ \\ \text{Üsler eşit ise kuvvetin tek veya çift olma durumuna bakılır:} \\ \\ a^{2m+1} = b^{2m+1} \text{ ise } a = b, \, (m \in \mathbb{Z}) \\ \\ a^{2n} = b^{2n} \text{ ise } a = b \text{ veya } a = -b, \, (n \in \mathbb{Z})$

$\subsection*{Uyarı 2:} \\ \\ a^m = 1 \text{ ise:} \\ \\ m = 0 \text{ ve } a \neq 0 \\ \\ a = 1 \text{ ve } m \in \mathbb{R} \\ \\ a = -1 \text{ ve } m \text{ çift sayı}$

$\subsection*{Uyarı:} \\ \\ \text{a ve b, 1'den farklı pozitif gerçek sayılar olsun:} \\ \\ a^x = b^y \quad \text{ve} \quad a^n = b^m \text{ ise:} \\ \\ \frac{x}{n} = \frac{y}{m}$

$\subsection*{Bilgi Notu:} \\ \\ \text{x bir gerçek sayı ve m, n sıfırdan farklı birer gerçek sayı olmak üzere:} \\ \\ $0 < x < 1$ \quad \text{ve} \quad x^n < x^m \quad \text{ise} \quad n > m \\ \\ x > 1 \quad \text{ve} \quad x^n < x^m \quad \text{ise} \quad n < m$

Üslü sayılar testine buradan ulaşabilirsiniz

$\subsection*{Köklü İfadeler:} \\ \\ n \text{ pozitif tam sayı, } n \geq 2 \text{ ve a gerçek sayı olmak üzere, } \\ \\ x^n = a \text{ denklemini sağlayan x gerçek sayılarına } \text{"a sayısının n. dereceden gerçek kökleri"} \text{ denir ve } \\ \\ x = \sqrt[n]{a} \text{ ile gösterilir.} \\ \\ \text{Durumlar:} \\ \\ \text{1. } a > 0 \text{ ise:} \quad x = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[n]{a}; \quad n \text{ tek} \\ -\sqrt[n]{a} \quad \text{ve} \quad \sqrt[n]{a}; \quad n \text{ çift} \end{array} \right. \\ \\ \text{2. } a = 0 \text{ ise:} \quad x = \sqrt[n]{0} = 0 \\ \\ \text{3. } a < 0 \text{ ise:} \\ \\ \quad \text{a) } n \text{ çift ise, x gerçek kökü yoktur.} \\ \\ \quad \text{b) } n \text{ tek ise, } x = \sqrt[n]{a}$

$\subsection*{Köklü Sayıların Tanım Aralığı:} \\ \\ n \text{ pozitif tam sayı olmak üzere:} \\ \\ \sqrt[2n+1]{a} \text{ ifadesi, a'nın her gerçek sayı değeri için tanımlıdır.} \\ \\ \sqrt[2n]{a} \text{ ifadesi ise } a \geq 0 \text{ için tanımlıdır.}$

$\subsection*{Köklü Sayının Tanımı:} \\ \\ x \text{ gerçek sayı ve } $n > 1$ \text{ tam sayı olmak üzere:} \\ \\ \sqrt[n]{x^n} = \left\{ \begin{array}{l} |x|, \quad n \text{ çift ise} \\ \\ x, \quad n \text{ tek ise} \end{array} \right. \\ \\ \text{olarak kök dışına çıkarılır.}$

$\subsection*{Köklü İfadelerin Üslü İfadeye Çevrilmesi:} \\ \\ x \text{ pozitif bir gerçek sayı, m ile n pozitif tam sayı olmak üzere:} \\ \\ \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$

$\subsection*{Kök Dışına Çıkarma:} \\ \\ x \text{ ile } y \text{ pozitif gerçek sayılar ve } n > 1 \text{ tam sayı olmak üzere:} \\ \\ \sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \\ \\ \sqrt[n]{x^n \cdot y} = x \cdot \sqrt[n]{y}$

$\subsection*{Kök İçine Alma:} \\ \\ x \text{ ile } y \text{ pozitif gerçek sayı ve } n > 1 \text{ tam sayı olmak üzere:} \\ \\ x \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x^n \cdot y}$

$\subsection*{Genişletme ve Sadeleştirme:} \\ \\ \text{Köklü sayılar üslü sayı biçiminde yazılabildiğinden, köklü sayılar üslü sayıların tüm özelliklerini sağlar.} \\ \\ \text{a pozitif gerçek sayı, m tam sayı, n ve c pozitif tam sayı ve } n > 1 \text{ olmak üzere:} \\ \\ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot c]{a^{m \cdot c}} = \frac{n}{c} \sqrt[n]{\frac{m}{a^c}}$

$\subsection*{Toplama ve Çıkarma İşlemi:} \\ \\ a, b, c \text{ gerçek sayılar } x \text{ pozitif gerçek sayı ve } n > 1 \text{ tam sayı olmak üzere:} \\ \\ a \cdot \sqrt[n]{x} + b \cdot \sqrt[n]{x} - c \cdot \sqrt[n]{x} = (a + b - c) \cdot \sqrt[n]{x}$

$\subsection*{Çarpma İşlemi:} \\ \\ \text{Köklü ifadelerin çarpılabilmesi için kök derecelerinin eşit olması gerekir.} \\ \\ x \text{ ile } y \text{ pozitif gerçek sayı ve } n > 1 \text{ tam sayı olmak üzere:} \\ \\ \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{x \cdot y}$

$\subsection*{Uyarı:} \\ \\ x \text{ ve } y \text{ birer pozitif gerçek sayı olmak üzere:} \\ \\ \Rightarrow \sqrt{x} \text{ sayısının rasyonel sayı yapılabilmesi için } \sqrt{x} \text{ ile çarpılması gerekir.} \\ \\ \Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} \text{ sayısının rasyonel sayı yapılabilmesi için } \sqrt{x} - \sqrt{y} \text{ ile çarpılması gerekir.} \\ \\ \Rightarrow \sqrt{x} - \sqrt{y} \text{ sayısının rasyonel sayı yapılabilmesi için } \sqrt{x} + \sqrt{y} \text{ ile çarpılması gerekir.}$

$\subsection*{Bölme İşlemi:} \\ \\ x \text{ ile } y \text{ pozitif gerçek sayı, } y \neq 0 \text{ ve } n > 1 \text{'den büyük bir tam sayı olmak üzere:} \\ \\ \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}} \\ \\ \text{Köklü ifadelerde bölme işleminin yapılabilmesi için kök derecelerinin eşit olması gerekir.}$

$\subsection*{Paydayı Rasyonel Yapma:} \\ \\ 1) a{\sqrt{b}} \cdot \sqrt{b} = a \cdot b \\ \\ 2) {a \pm \sqrt{b}} \cdot (a \mp \sqrt{b}) = a^2 - b \\ \\ 3) \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \cdot (\sqrt{a} \mp \sqrt{b}) = a - b \\ \\ 4) \sqrt[n]{a^m}} \cdot \sqrt[n]{a^{n-m}} = a$

$\subsection*{İç İçe Sonlu Kökler:} \\ \\ x, y, z \text{ ve } m, n, p \text{ pozitif gerçek sayılar ve tam sayılar olmak üzere:} \\ \\ \text{Bir sayı kökün içine girerken bu sayının üssü kökün derecesi ile çarpılır:} \\ \\ y^m \cdot \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{x \cdot y^{m \cdot n}} \\ \\ \text{Bir sayı kökün dışına çıkarken bu sayının üssü kökün derecesine bölünür:} \\ \\ \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} \\ \\ \text{İç içe köklerde kök dereceleri çarpılır:} \\ \\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{\sqrt[p]{x}}} = \sqrt[m \cdot n \cdot p]{x}$

$\subsection*{Bilgi Notu:} \\ \\ \sqrt[2n]{x} + \sqrt[2m]{y} = 0 \text{ ise } x = 0 \text{ ve } y = 0 \quad (n, m \in \mathbb{Z}^+)$

$\subsection*{$\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$ ve $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$ İfadeleri:} \\ \\ \text{Kökün içinde bulunan } a + 2\sqrt{b} \text{ ve } a - 2\sqrt{b} \text{ ifadelerinin tamkare olup olmadığı araştırılır.} \\ \\ \text{Bunun için çarpımları b'yi, toplamları a'yı veren sayılar bulunur:} \\ \\ \sqrt{a + 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} + \sqrt{y} \quad (a = x + y \quad \text{ve} \quad b = x \cdot y) \\ \\ \sqrt{a - 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} - \sqrt{y} \quad (x > y) \quad (a = x + y, \quad b = x \cdot y)$

Köklü Sayılar Testine Buradan Ulaşabilirsiniz.

Sayı Kümeleri, Üslü sayılar, Köklü sayılar

Bir yanıt yazın Yanıtı iptal et