Üslü Sayılar Soruları ve Çözümleri
Soru 1: a ve b tam sayı olmak üzere;
\( 3^{a + 2b} = 7^{b-3} \)
a ve b değerlerini bulunuz.
\( 3^{a + 2b} = 7^{b-3} \)
a ve b değerlerini bulunuz.
Çözüm: 3 ve 7 nin tam sayı kuvvetleri tek bir şekilde birbirine eşit olur o da kuvvetlerin \(0\) olması durumudur.
Bu durumda;
\(a + 2b = 0\) ve \(b – 3 = 0\) olmalıdır.
\(b – 3 = 0\) ile başlayalım. Böylece \(b = 3\) sonucunu elde ederiz.
\(a + 2b = 0\) eşitliğinde \(b = 3\) yazarsak;
\(a + 6 = 0\) buradan \(a = -6\) olur.
Bu durumda;
\(a + 2b = 0\) ve \(b – 3 = 0\) olmalıdır.
\(b – 3 = 0\) ile başlayalım. Böylece \(b = 3\) sonucunu elde ederiz.
\(a + 2b = 0\) eşitliğinde \(b = 3\) yazarsak;
\(a + 6 = 0\) buradan \(a = -6\) olur.
Soru 2: \( 3^{2x+3} = 27 \) olduğuna göre, \( x\) kaçtır?
Çözüm: Tabanları eşit olan üslü ifadelerin üsleri birbirine eşittir. \( 27 = 3^3 \) olduğu için \( 3^{2x+3} = 3^3 \) eşitliğinden \( 2x + 3 = 3 \) olur. Buradan \( x = 0 \) bulunur.
Soru 3: \( (3x + 1)^{4} = (5 – x)^{4} \) olduğuna göre, \(x\) değerlerini bulunuz.
Çözüm: Kuvvetler aynı olan üslü ifadelerden kuvvetleri çift olan üslü ifadelerin tabanlarının mutlak değerleri birbirine eşittir.
\( |3x + 1| = |5 – x| \)
Bu mutlak değerli denklemi çözerken 2 farklı çözüm elde ederiz. Mutlak değerin içindeki ifadeleri birbirine eşitleriz. İkinci çözümde ise bu ifadelerden birini sabit bırakıp diğerini – ile çarparak bir eşitlik buluruz.
\(1.\) durum:
\( 3x + 1 = 5 – x \)
\( 3x + x = 5 – 1\)
\( 4x = 4 \)
\( x = 1 \)
\(2.\) durum:
\( 3x + 1 = -5 + x \)
\(3x – x = -5 -1 \)
\( 2x = -6 \)
\( x = -3 \)
\( |3x + 1| = |5 – x| \)
Bu mutlak değerli denklemi çözerken 2 farklı çözüm elde ederiz. Mutlak değerin içindeki ifadeleri birbirine eşitleriz. İkinci çözümde ise bu ifadelerden birini sabit bırakıp diğerini – ile çarparak bir eşitlik buluruz.
\(1.\) durum:
\( 3x + 1 = 5 – x \)
\( 3x + x = 5 – 1\)
\( 4x = 4 \)
\( x = 1 \)
\(2.\) durum:
\( 3x + 1 = -5 + x \)
\(3x – x = -5 -1 \)
\( 2x = -6 \)
\( x = -3 \)
Soru 4: \( \frac{3^{n+2} – 3^{n+1}}{3^n + 3^{n+1}} \) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm: Bu tür sorularda ortak paranteze alarak sadeleştirme yapmak gerekir. Bunun için mümkün olan en küçük dereceli terim türünden yazmak gerekir.
\( \frac{3^{n+2} – 3^{n+1}}{3^n + 3^{n+1}} = \frac{3^n.3^2 – 3^n.3^1}{3^n + 3^n.3^1}\)
\(3^n\) parantezine alarak tekrar yazalım.
\( \frac{3^n.3^2 – 3^n.3^1}{3^n + 3^n.3^1} = \frac{3^n.(3^2 – 3^1)}{3^n.( 1 + 3^1)} \)
şimdi \( 3^n \) terimlerini sadeleştirerek işlemi tamamlayalım.
\( \frac{3^n.(3^2 – 3^1)}{3^n.( 1 + 3^1)} = \frac{(3^2 – 3^1)}{( 1 + 3^1)} \)
\( \frac{(3^2 – 3^1)}{( 1 + 3^1)} = \frac{(9 – 3)}{( 1 + 3)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
\( \frac{3^{n+2} – 3^{n+1}}{3^n + 3^{n+1}} = \frac{3^n.3^2 – 3^n.3^1}{3^n + 3^n.3^1}\)
\(3^n\) parantezine alarak tekrar yazalım.
\( \frac{3^n.3^2 – 3^n.3^1}{3^n + 3^n.3^1} = \frac{3^n.(3^2 – 3^1)}{3^n.( 1 + 3^1)} \)
şimdi \( 3^n \) terimlerini sadeleştirerek işlemi tamamlayalım.
\( \frac{3^n.(3^2 – 3^1)}{3^n.( 1 + 3^1)} = \frac{(3^2 – 3^1)}{( 1 + 3^1)} \)
\( \frac{(3^2 – 3^1)}{( 1 + 3^1)} = \frac{(9 – 3)}{( 1 + 3)} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
Soru 5: \( \frac{0,12.10^{-3}}{0,2.10^{-3} + 0,1.10^{-2}} \)
İşleminin sonucu kaçtır?
İşleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: Tüm terimleri \( 10^{-3} \) veya \(10^{-2}\) türünden yazarsak ortak paranteze alarak sadeleştirebiliriz.
\( \frac{0,12.10^{-3}}{0,2.10^{-3} + 1.10^{-3}} \) eşitliğini \( 10^{-3} \) parantezine alırsak sadeleştirme yapabiliriz.
\( \frac{0,12.10^{-3}}{0,2.10^{-3} + 1.10^{-3}} = \frac{0,12.10^{-3}}{10^{-3}.(0,2 + 1)} \)
\( \frac{0,12}{(0,2 + 1)} = \frac{0,12}{1,2} = \frac{12}{120}\)
\( \frac{12}{120} = \frac{1}{10} = 0,1\)
\( \frac{0,12.10^{-3}}{0,2.10^{-3} + 1.10^{-3}} \) eşitliğini \( 10^{-3} \) parantezine alırsak sadeleştirme yapabiliriz.
\( \frac{0,12.10^{-3}}{0,2.10^{-3} + 1.10^{-3}} = \frac{0,12.10^{-3}}{10^{-3}.(0,2 + 1)} \)
\( \frac{0,12}{(0,2 + 1)} = \frac{0,12}{1,2} = \frac{12}{120}\)
\( \frac{12}{120} = \frac{1}{10} = 0,1\)
Soru 6: \( 6^{2a-1} = 6^{4a-3} \)
olduğuna göre, \(a\) kaçtır?
olduğuna göre, \(a\) kaçtır?
Çözüm: Tabanları eşit olan üslü ifadelerin üsleri birbirine eşittir.
\(2a-1 = 4a-3\)
\( -1+3 = 4a-2a \)
\( 2=2a \)
\(a=1\)
\(2a-1 = 4a-3\)
\( -1+3 = 4a-2a \)
\( 2=2a \)
\(a=1\)