Üslü Sayılar Çözümlü Sorular 2

Çözüm: Her satırı kendi içinde değerlendirerek işlemler yapacağız. 1. satırdaki ilk 2 değeri birbirine bölerek a sayısını bulalım.
\( a = \frac{4^5}{64^2} = \frac{(2^2)^5}{(2^6)^2} = \frac{2^{10}}{2^{12}} = 2^{-2}\)
Bu durumda; \( a = 2^{-2} \) olarak bulunur.
Şimdi b değerini bulmak için aynı işlemi 2. satırda tekrarlayalım.
\( b = \frac{a}{(\frac{1}{2})^9} = \frac{2^{-2}}{2^{-9}} = 2^{7}\)
Bu durumda; \( b = 2^7 \) olarak bulunur. Son olarak c değerini bulmak için benzer bir işlem daha yapalım.
\( c = \frac{b}{(0.25)^{-2}} = \frac{2^7}{(\frac{1}{4})^{-2}} \)
\(= \frac{2^7}{(2^{-2})^{-2}} = \frac{2^7}{2^4} = 2^3 \)
\( c = 2^3 \) olarak bulunur.
Şimdi \( \frac{a.c}{b} \) işleminin sonucunu bulabiliriz.
\( \frac{a.c}{b} = \frac{2^{-2}.2^3}{2^7} = \frac{2}{2^7} = 2^{-6}\)

Çözüm: Bu soruyu rasyonel sayılarda toplama yapar gibi düzenlememiz gerekiyor. Payda eşitlememiz gerekiyor.
\( \frac{2}{a^b + 1} + \frac{2}{a^{-b} + 1} = \frac{2}{a^b + 1} + \frac{2}{\frac{1}{a^{b}} + 1} \)
\(= \frac{2}{a^b + 1} + \frac{2}{\frac{1 + a^b}{a^{b}}} = \frac{2}{a^b + 1} + \frac{2.a^b}{a^b + 1} \)
paydaları eşitlediğimize göre artık toplama işlemini yapabiliriz.
\( \frac{2 + 2.a^b}{a^b + 1} = \frac{2.(1 + a^b)}{a^b + 1} = 2 \)

Çözüm: Bilimsel gösterimi \( x,y.10^z \) şeklinde olan bir sayının tam kısmı olan x sayısı 0 ile 10 aralığında bir tam sayı olmalıdır.
Bu durumda \( 0.0000000000023 \) sayısının bilimsel gösterimi \( 2,3.10^{-12} \) dir.
Böylece;
\( a = 2,3\)
\( b = -12 \) olur.
\( a + b = 2,3 + (-12) = -9,7 \)

Çözüm: Sonucu istenen \( 81^{a-1} \) sayısını \( 3^a \) türünden yazarsak;
\( 3^a \) yerine \( 2 \) yazarak işlemin sonucunu bulabiliriz.
\( 81^{a-1} = (3^4)^{a-1} = 3^{4.(a-1)} = 3^{4a-4} \)
\(= 3^{4a}.3^{-4} = (3^a)^4.3^{-4} = \frac{(3^a)^4}{3^{4}} \)
Son olarak \( 3^a = 2 \) eşitliğini kullanarak cevabı bulalım.
\( 81^{a-1} = \frac{(3^a)^4}{3^{4}} = \frac{2^4}{3^{4}} = \frac{16}{81} \)

Çözüm: \( 27^{2x-2} \) ifadesini üslü sayıların özelliklerini kullanarak \( 3^{x-1} \) türünden yazmalıyız.
\( 27^{2x-2} = (3^3)^{2x-2} = 3^{3.(2x-2)} \)
\(= 3^{6x-6} = 3^{6.(x-1)} = (3^{x-1})^6 \)

\( 27^{2x-2} = (3^{x-1})^6 \) eşitliğinde \( 3^{x-1} = 2 \) yazarak işlemi tamamlayalım.
\( 27^{2x-2} = (3^{x-1})^6 = 2^6 = 64\)

Çözüm: Önce \( x = 4.y \) eşitliğinde gerekli düzenlemeleri yaparak \( \frac{y}{x} \) ifadesinin değerini bulalım.
\( x = 4.y \) ise \( \frac{y}{x} = \frac{1}{4} \) olarak bulunur.
\( (\frac{y}{x})^{({-\frac{3}{2}})} = (\frac{1}{4})^{({-\frac{3}{2}})} = 4^{({\frac{3}{2}})} \)
\( = (2^2)^{({\frac{3}{2}})} = 2^{2.{({\frac{3}{2}})}} = 2^3 = 8\)