Üstel Fonksiyon

$\subsection*{NOT: Üstel İfadeler ve Özellikleri} \\ \text{a, x, m, n } \in \mathbb{Z}^+ \text{ olmak üzere, a taban, x üssü, m ve n de üs olacak şekilde:} \\ a^m = a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a \quad (m \text{ tane}) \\ \\ x^0 = 1 \\ \\ x^m \cdot x^n = x^{m+n} \\ \\ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \\ \\ \left({x^m}\right)^n = x^{m \cdot n}} \\ \\ x^m \cdot y^m = (x.y)^m \\ \\ \frac{x^n}{y^n} = \left(\frac{x}{y}\right)^n \\ \\ x^{-m} = \frac{1}{x^m}\\ \\$

$\subsection*{Örnek 1:} \\ 4^4 \cdot 16^2 \cdot 32^{-2} \text{ işleminin sonucunu bulalım.}$

$\subsection*{Çözüm:} \\ 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 \quad (2^4)^2 = 2^8 \quad (2^5)^{-2} = 2^{-10} \\ \text{Şimdi işlemin sonucunu bulalım:} \\ 2^8 \cdot 2^8 \cdot 2^{-10} = 2^{8+8-10} = 2^6=64$

$\subsection*{Örnek 2:} \\ (-x)^4 \cdot (-1) \cdot (-x)^{-3} \text{ ifadesinin eşitini bulalım.}$

$\subsection*{Çözüm:} \\ (-x)^4 = x^4 \quad (-x)^{-3} = -x^{-3} \\ \\ \text{Şimdi işlemleri tamamlayalım:} \\ \\ x^4 \cdot (-1) \cdot -x^{-3} = x^{4-3} = x$

$\subsection*{Üstel Fonksiyon Tanımı:} \\ a \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\} \text{ ve } x \in \mathbb{R} \text{ olmak üzere,} \\ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, \, f(x) = a^x \text{ biçiminde tanımlanan fonksiyona \textbf{üstel fonksiyon} denir.} \\ a > 0 \text{ ve } f(x) > 0 \text{ koşulları sağlanır.}$

$\subsection*{Örnek 3:} \\ \\ f(x) = 2^x \\ \\ g(x) = \left( \frac{2}{3} \right)^x \\ \\ h(x) = x^3 \\ \\ k(x) = (-5)^x \\ \\ \text{Fonksiyonlarının üstel fonksiyon olup olmadıklarını inceleyelim.}$

$\subsection*{Çözüm:} \\ f(x) \text{ üstel fonksiyondur çünkü tabanı pozitif bir sabittir ve üs değişkendir.} \\ \\ g(x) \text{ üstel fonksiyondur çünkü tabanı pozitif bir sabittir ve üs değişkendir.} \\ \\ h(x) \text{ üstel fonksiyon değildir, polinom fonksiyondur.} \\ \\ k(x) \text{ üstel fonksiyon değildir, çünkü tabanı negatif bir sayıdır.}$

$\subsection*{Örnek 4:} \\ f(x) = 2^{x - 1} \text{ olduğuna göre } f(3) + 2f(1) \text{ toplamını bulalım.}$

$\subsection*{Çözüm:} \\ f(3) = 2^{3 - 1} = 2^2 = 4 \\ \\ f(1) = 2^{1 - 1} = 2^0 = 1 \\ \\ f(2) + 2f(-1) = 4 + 2\cdot1 = 4 + 2 = 6$

$\subsection*{Örnek 5:} \\ f(x) = (6 - 3a)^{3/x} \\ \\ \text{ fonksiyonu, bir üstel fonksiyon olduğuna göre,} \\ \text{a'nın alabileceği doğal sayı değerlerinin toplamını bulalım.}$

$\subsection*{Çözüm:} \\ \text{Fonksiyonun üstel olabilmesi için tabanın pozitif olması gerekir.} \\ $6 - 3a > 0$ \quad \Rightarrow \quad a < 2 \\ a \text{ doğal sayı olduğundan } a = 0, 1 \\ \text{Bu değerlerin toplamı } 0 + 1 = 1$

Bir yanıt yazın Yanıtı iptal et